专题三数列

专题三数列主备人：补习学校数学组执笔人：张新华张德华审核人：刘吉超李方增[考情分析]1.数列在历年高考中都占有较较重要的地位,一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,分值占整个试卷的10%左右,客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。2．有关数列问题的命题趋势⑴数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点。⑵数列推理题是新出现的命题热点，以往高考常使用立体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了逻辑推理能力的考查⑶在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是对运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力的要求更为突出，一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养。考点精要一、等差数列1．等差数列的定义数列|{an}满足an+1—an=d(其中n∈N*，d为常数){an}是等差数列。2．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,m∈N*).3.等差中项若x,A,y成等差数列，则A=2yx其中A为x,y的等差中项。4．等差数列的前n项和公式若等差数列首项为a1,公差为d,则其前n项和Sn=2)(1naan=na1+2)1(dnn.二、等比数列1．等比数列的定义数列{an}满足nnaa1=q(其中an≠0，q是不为零的常数，（n∈N*）{an}为等比数列。2．等比数列的通项公式等比数列的首项为a1,公比为q,an=a1qn-1=amqn-m（n,m∈N*）.3.等比中项若x,G,y成等比数列，则G2=xy,其中G为x.y的等比中项。4．等比数列的前n项和设等比数列的首项为a1，公比为q,则)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn推导等比数列前n项和公式的方法是错位相减法。三、基本运算1．等差（比）数列，an,Sn,中五个量知三求二，公式的选择、数列性质的熟练应用能很大程度上减少运算量。等差数列{an}，则①an=am+(n-m)d,(m、nn∈N*②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(m、n、p、q∈N*)③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列，公差为n2d.④S2n-1=(2n-1)·an·2.已知an,Sn的等量关系，根据目标，把该关系统一到通项或和上，求通项或研究Sn的性质。3．派生数列如an+1=·an+b,an+1=an+f(n),nnaa1=f(n)等，可通过待定系数法、累差法、累商法等，化归为等差（比）数列求通项。4．求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化归为基本数列求和。①若cn=an·bn,{an}等差{bn}等比，则用错位相减法。②若cn=an+bn,则用分组求和，其中分组的方法比较灵活。③裂项相减法适用于通项形如an=)12)(12(1nn等④倒序相加法。1.09全国14题，设差数列{an}前n项和为Sn若S9=72,则a2+a4+a9=2.07江西，已知数列{an}对任意Pq∈N*,有GP+Gq=Gp+q,若a1=91则a36=3.09辽宁已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若36SS＝3则69SS＝A.2B.37C.38D.34.09广东已知比数列{an}满足an0且a5·a2n-5=22n(n≥3)则当n≥3时,log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1=A.(n-1)2B.n2C.(n+1)2D.n(2n-1)5.(09年山东20题)等比数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的n,∈N*点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1),n,∈N*证明:对任意的n,∈N*,不等式111bb*221bb……nnbb11n成立一.数列内部的综合问题例1已知f(x)=10gx(a0且a≠1)设f(a1)、f(a2)、…、f(an)（n）是首项为4，公差为2的等差数例。(1)设a为常数，求证(an)成等比数例；(2)若bn=anf(an){bn}的前n项和是Sn,当a=2时，求Sn;(3)令Cn=anlgan,问是否存在a，使得{Cn}中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由。变式练习（2009年高考全国卷）在数列{an}中，a1=,an+1=(1+nnnan21)1(1)设bn=;){的通项公式求数列nnbna(2)求数列{an}的前n项和Sn.二、数列与函数、方程、不等式的综合问题例2．已知函数f(x)=223xx,(1)若数列{an},{bn}满足a1=)1(11),(,211nabafannnn求数列{bn}通项公真题再现高考预测式；(2)记Sn=b1+b2+…+bn,若nS1m恒成立，求m的最小值变式练习2已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（21）n-1+2（n为正整数）。（1）令bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令cn=21,1ccTannnn…+cn，试比较Tn与125nn的大小，并予以证明。三、数列与向量、解析几何的综合问题例3过点Ｐ（1，0）作曲线C：y=xk(x∈(0,+)，k∈N*,k1)的切线，切点为Q1,设点为Q1,设Q1点在x轴上的投影是点P1,又过点P1作曲线C的切线,切点为Q2,设Q2在x轴上的投影是点P2,依次下去,得到一系列点Q1,Q2,…,Qn,…设点Qn的横坐标为an.(1)求证:an=(1kk)n,n*(2)求证:an1+1kn(3)求证：niiai1k2-k(注:niia1＝a1+a2+…an)变式练习3在直角坐标平面上，点列P1（x1,y1）,P2(x2,y2),…,pn（xn,yn）,…对每个正整数n,点Pn都在函数y=3x+413的图象上，且Pn的横坐标构成以-25为首项，-1为公差的等差数列{xn}.(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线列C1，C2，C3，…Cn,…中的每一条的对称轴垂直于x轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记过点Dn,且与抛物线Cn相切的直线的斜率为k,求证：322111kkkk…+10111nnkk四、数列中的应用问题例4某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,…以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额，（1）写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系；（2）求证：Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列{Bn}是一个等差数列。变式练习4某城市2009年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年末汽车拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆，从2009年末起，n年后年末汽车拥有量为bn+1万辆，若每年末的拥有量不同。（1）求证：{bn+1-bn}为等比数列；（2）每年新增汽车数量不应超过多少辆？优化练习一、选择题1．首项为b,公比为a的等比数列{bn}的前n项和为Sn,对任意的n,点（Sn,Sn+1）在（）A．直线y=ax+b上B．直线y=bx+a上C．直线y=bx-a上D．直线y=ax-b上2．已知an=402401nn(n),则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是（）A．a1,a50B．a50,a1C．a21,a20D．a20,a213.设f1(x)=等于则且201011,2)0(1)0())(()(,12affaxffxfxnnnnn()A.2008)21(B.2009)21(C.2010)21(D.2011)21(4.椭圆个不同的点上有nyx13422P1，P2，…Pn,椭圆的右焦点为F，且数列{|PnF|}是公差大于的最大值为则的等差数列n,10051（）A．2007B．2008C．2009D．20105．定义：若数列{an}对任意正整数n,都有|an+1|+an|=d(d为常数)，则称{an}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”{an}中，a1=2,绝对公和为3，则其前2009项的和S2009的最小值为（）A．-2009B．-3010C．-3014D．3028二、填空题6．函数y=2)2(1x图象上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数例，则公比的取值范围是7．对于正整数n，设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线斜率为--a，则数列{an}的前n项和Sn=8．设{an}是公比为q的等比数例，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11,a99a100—10,01110099aa.给出下列结论:①0q1;②T1981;③a99a1011;④使Tn〈1成立的最小自然数n等于199。其中正确的结论的编号是三、解答题9．设不等式组nnxyyx300所表示的平面区域为Dn,设Dn内的整点个数为an（n）（整点即横、纵坐标均为整数的点）。（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列，{an}的的前n项和为Sn，且Tn=123nnS若对于一切正整数n，总有Tnm,求实数m的取值范围。10．数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n，总有an,Sn,2na成等差数列；（1）求数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=21nnaxn求证：对任意实数x（1，e）（e是常数，e=2,71828…)和任意正整数n总有Tn2;(3)正整数列{cn}中,an+1=cnn+1（n）,求数列{cn}中的最大项.数列答案一、真题再现1、242、43、B4、5、（1）由题意，Sn=bn+r当n≥2时，Sn-1=bn-1+r所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)由于b0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1=b+r,a2=b(b-1)baa12，即brbbb)1(，解得r=-1（2）由（1）知an=2n-1因此bn=2n(n*N)所证不等式为1212414212nnn①当n=1时，左式=23，右式=2，左式右式，所以结论成立。②假设n=k时结论成立，即1212414212kkk则当n=k+1时，1232)1(2321)1(232212414212kkkkkkkkk要证当n=k+1时结论成立，只需证21232kkk，即证)2)(1(232kkk，由均值不等式可得：)2)(1(2)2()1(232kkkkk成立故21232kkk成立，所以，当n=k+1时，结论成立。由（1）（2）可知，n*N时，不等式11112211nbbbbbbnn成立。二、例题答案例1：（1）f(an)=4+(n-1)×2=2n+2即22lognana，可得an=a2n+2∴22222)1(2212aaaaaaannnnnn为定值∴