一般项级数

12.3一般项级数一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛三、阿贝尔判别法和狄里克雷判别法一、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.解），，21(1111nunnunn0limnnu又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例）（非绝对收敛从而*11121nnn解例2判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？12nnun发散而111nn发散，所以1nnu01limlim2nnunnn又)1(1)(2xxxxf设222'11)(xxxf则)1(0x）上单调递减，在1[)(xf121111nnn（）1nnuu***故：由（）、（）原级数条件收敛。112nnnn）（收敛。由莱布尼兹判别准则，**11121nnn非绝对收敛从而1111nnn解nnun1发散而121nn发散，所以1nnunnunnn1limlim又11211nnn（）nn11n21nnn11lim0nnnnun1111211nunn故：原级数条件收敛。注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定的方法nnuu1；0)11nnuu；）121nnuu.3）相应函数的单调性1113.0(1,2,),(1),11nnnnnnnnanaaa例设单调递减，发散判别的敛散性。解,0单调递减且有下界由题设知na有极限。所以na).0(limllann不妨设，若0l11)1(nnna收敛，交错级数则由莱布尼兹判别准则0limlann与题设矛盾，故laannnnnn1111lim11lim由根值判别法，有故1收敛。故：111nnna例4判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛任意项级数正项级数任意项级数的各项取绝对值定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.问题:如何研究任意项级数的敛散性问题？1.绝对收敛和条件收敛:绝对收敛：1.1nnu收敛；1nnu条件收敛：1.2nnu收敛；发散，11nnnnuu..31发散nnu任意项级数的敛散性定理2若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.上定理的作用：任意项级数正项级数定义:若1nnu收敛,则称1nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.例5判别级数12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故由定理知原级数收敛.定理如果任意项级数121nnnuuuu满足条件nnnuu1lim（其中可以为）则当1时，级数1nnu收敛，且绝对收敛；当1时，级数1nnu发散例6判别下列级数的收敛性:(1)0!nnnx;(2)12)!2()1(nnnnx;(3)nnxnn1!)1()1(解01||lim||!)!1(||limlim)1(11nxxnnxuunnnnnnn则此级数对一切)(xx绝对收敛0||)12)(22(1lim||)!22()!2(limlim)2(221xnnxnnuunnnnn||1limlim)3(1xxnnuunnnn则此级数对一切)(xx绝对收敛则当1||x时，级数收敛；当1||x时，级数发散，而1x时，级数是否收敛取决于为何值.敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数1ln)1(nnnn例7解,1ln1nnn,11发散而nn,ln1ln)1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛．,ln)1(1级数是交错nnnn由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim,01limxx,0ln11limln1limnnnnnnn),0(ln)(xxxxf),1(011)(xxxf,),1(上单增在,ln1单减即xx,1ln1时单减当故nnn),1()1ln()1(1ln11nunnnnunn所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．221111111111118.,,1,2,,nnnnaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpqnAapqBapqCapqDapq例设则下列命题正确的是：（）若条件收敛，则与都收敛；（）若绝对收敛，则与都收敛；（）若条件收敛，则与敛散性都不定；（）若绝对收敛，则与敛散性都不定；解111nnnnnnaaa收敛收敛，此时亦有绝对收敛，即若，，又22nnnnnnaapaap都收敛。与由级数的运算性质知11nnnnqp定理2.绝对收敛级数可重排性:绝对收敛级数可重排性对级数，令则有i)和均为正项级数,且有和;ii),.例9三阿贝尔判别法和狄里克雷判别法推论(阿贝尔引理)若,且存在M0,,则.证明定理(狄里克雷判别法)若数列单调递减收敛于0,且级数的部分和数列有界,则级数收敛.利用阿贝尔变换因单调递减收敛于0，存在N，时定理(阿贝尔判别法)若数列单调有界,且级数收敛,则级数收敛.证明：不妨设单调递减有下界单调递减收敛于0，收敛（狄里克雷判别法），从而级数收敛.例10例设数列单调减少趋于0，讨论级数的敛散性.解：时，显然部分和等零，时由狄里可雷判别法，级数收敛.例设↘0.证明级数和对收敛.时，可见时,级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛.同理可得级数数收敛.四、小结正项级数任意项级数判别法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun思考题1设级数1||nnu收敛,能否推得1nnu收敛?反之是否成立?思考题1解答由级数||1nnu收敛，可以推得1nnu收敛,反之不成立.例如：11)1(nnn收敛,11nn发散.思考题2绝对收敛？若收敛是条件收敛还是是否收敛？）（）（判断级数211nnnn思考题解答发散；发散，而）（11212111nnnnnunnnu.1无效，所以莱布尼兹判定法但因不满足，，首先认定是交错级数下面判断是否条件收敛nnuu.此处可用定义证明)21121()4151()2131(2nnsn121)21121()4131(212nnnsn或，为单调减少有下界数列ns2；从而ssnn2lim.原级数收敛,0lim12nnu所以ssnnlim.112条件收敛）（）（级数nnnn