一轮复习双曲线

双曲线考纲点击1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.2.了解圆锥曲线的简单应用.热点提示1.双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点.2.主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目.1．双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①与两个定点F1，F2的距离的等于常数2a.②2a|F1F2|.(2)上述双曲线的焦点是，焦距是.差的绝对值＜F1，F2|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形性质范围对称性对称轴：对称心：对称轴：对称中心：顶点顶点坐标，A1，A2顶点坐标：A1，A2x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)渐近线离心率e＝，e∈，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)(1，＋∞)2a2b3．等轴双曲线等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为.实轴和虚轴y＝±x1．双曲线方程：x2|k|－2＋y25－k＝1，那么k的范围是()A．k＞5B．2＜k＜5C．－2＜k＜2D．－2＜k＜2或k＞5【解析】由题意知(|k|－2)(5－k)＜0，解得－2＜k＜2或k＞5.【答案】D2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－82C．14＋82D．82【解析】由双曲线方程知a＝22，则△PF2Q的周长为：|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝(2a＋|PF1|)＋(2a＋|QF1|)＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4×22＋2×7＝14＋82.【答案】C3．已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为()A.32B.52C.153D.253【解析】依题意可知：由2x2－3y2＝6⇒x23－y22＝1，⇒a2＝3，b2＝2⇒c2＝a2＋b2＝5⇒e＝ca＝53＝153.【答案】C4．已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是________．【解析】双曲线方程变为x23－y28＝1，∴x23≥1，∴x≤－3或x≥3，∴m≤－3或m≥3，∴2m＋4≤4－23或2m＋4≥4＋23.【答案】(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．与椭圆x249＋y224＝1有公共焦点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率之比为74的双曲线的标准方程是________．【解析】对椭圆x249＋y224＝1，a＝7，b＝26，∴c＝5，e＝57，设双曲线方程为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，∴m2＋n2＝2557÷5m＝47，解得m＝4，n＝3，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－y29＝1双曲线的定义与标准方程已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【思路点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主探究】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．【方法点评】1.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的那一支．2．求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上．②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程．③定值：根据题目条件确定相关的系数．【特别提醒】若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)．1．将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？【解析】由例题可知：当圆M与圆C1外切，与圆C2内切时，|MC1|－|MC2|＝22；当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时，|MC2|－|MC1|＝22.∴||MC1|－|MC2||＝22＜|C1C2|＝8.∴点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1.双曲线的几何性质中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．【自主探究】(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则a－m＝47·13a＝3·13m，解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213，∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.【方法点评】1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．(2)求已知渐近线的双曲线的方程．(3)渐近线的斜率与离心率的关系．如k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1.2．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．【解析】方法一：(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得ba＝43，(－3)2a2－(23)2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.∴双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法二：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(－4＜k＜16)，将点(32，2)代入得k＝4，∴双曲线方程为x212－y28＝1.直线和双曲线已知两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件|PF2|－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点．(1)求k的取值范围；(2)如果|AB|＝63且曲线E上存在点C，使OA→＋OB→＝mOC→，求m的值和△ABC的面积S.【思路点拨】解答本题(1)可先由已知条件求出曲线E的方程，由直线及曲线E的方程得到关于x的一元二次方程；再由已知条件得到关于k的不等式组，求出k的取值范围；(2)可根据(1)中k的范围及|AB|＝6求出k的值，得到直线AB的方程，再求m的值及C点的坐标，从而可得△ABC的面积．【自主探究】(1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝2，a＝1，易知b＝1，故曲线E的方程为x2－y2＝1(x≤－1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.又已知直线与双曲线的左支交于A，B两点，有解得－2＜k＜－1.(2)∵|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·(－2k1－k2)2－4·－21－k2＝2(1＋k2)(2－k2)(1－k2)2.依题意得2(1＋k2)(2－k2)(1－k2)2＝63，整理后得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝57或k2＝54，但－2＜k＜－1，∴k＝－52，故直线AB的方程为52x＋y＋1＝0.设C(x0，y0)，由已知OA→＋OB→＝mOC→，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝(mx0，my0)，∴(x0，y0)＝(x1＋x2m，y1＋y2m)，m≠0，又x1＋x2＝2kk2－1＝－45，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝2k2k2－1－2＝2k2－1＝8，∴C(－45m，8m)．将点C的坐标代入曲线E的方程，得80m2－64m2＝1，解得m＝±4，但当m＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m＝4，点C的坐标为(－5，2)．C到AB的距离为|52×(－5)＋2＋1|(52)2＋12＝13，∴△ABC的面积S＝12×63×13＝3.【方法点评】平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题，往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题．在解析几何中当直线与曲线相交时，对于交点坐标若直接求解有时非常复杂，故往往设而不求，即设出点的坐标，利用点在曲线上或其满足的性质求解．本题借助直线与双曲线相交，利用设而不求的思想，结合向量的坐标运算及根与系数的关系求解．3．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．【解析】(1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1－3k2≠0Δ＝(－62k)2＋36(1－3k2)＝36(1－k2)＞0，∴k2≠13且k2＜1①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.又∵OA→·OB→＞2，得x1x2＋y1y2＞2，∴3k2＋73k2－1＞2.即－3k2＋93k2－1＞0，解得13＜k2＜3②由①②得13＜k2＜1，故k的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．1．(2009年安徽高考)下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1【解析】双曲线离心率e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝62，知b2a2＝12，只有B选项符合，故选B.【答案】B2．(2009年宁夏、海南高考)双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．1【解析】双曲线x