一轮复习学案--304几种常见数列通项的求法

几种常见数列通项的求法【基础题过关】1．已知数列{}na满足12nnaa，而且11a，求通项na.2．若数列na满足：11a，12nnaa（*nN），求12naaa．3．已知数列{}na中，11a，11113nnaa，则50a__________________．一、利用数列的“周期性”求通项:【例题分析】1．已知数列na满足10a，13()31nnnaanaN，求20a【巩固练习】数列{}na中，112a，111nnaa，（2n且nN），求2003a。二、“叠加”法求通项：对形如1()nnaafn的数列的通项，可用累加法。【例题分析】2．在数列{}na中，12a，1nnaacn（c是常数，1n，2，3，…），且1a，2a，3a成公比不为1的等比数列．⑴求c的值；⑵求{}na的通项公式．【巩固练习】1．已知数列{}na满足121nnaan，11a，求数列{}na的通项公式。2．已知数列{}na满足122a，12nnaan，则数列{}na的通项公式为，nan的最小值为3．已知数列{}na满足12nnnaa，13a，求na．4．在数列{}na中，12a，11ln(1)nnaan，则naA．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn三、“叠乘”法求通项：对形如1()nnafna的数列的通项，可用累乘法。【例题分析】3．已知数列{}na满足113a，123(2)21nnnaann，求na.【巩固练习】1．已知{}na中，12nnnaan且12a，求数列{}na的通项公式。2．已知数列{}na满足12nnanan*()nN，且11a，则na_________．四、“倒数”法求通项:【例题分析】4．数列{}na中，若21a，nnnaaa311，则4a【巩固练习】1．已知数列{}na中，11a，121nnnaaa，则它的通项公式na_________．2．已知数列{}na中，其中11a，且当2n时，1121nnnaaa，求通项公式na。3．已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．证明：数列1{1}na是等比数列．4．数列}{na满足31a，115nnnnaaaa，求通项na.五、已知数列的和求通项：【例题分析】5．已知数列}{na满足211233333nnnaaaa，nN，求数列}{na的通项；【巩固练习】1．数列{}na中，123232nnaaana，求na．2．已知数列{}na满足11a，123123(1)nnaaaana（2n），求{}na的通项。六、“待定系数法”求通项:【例题分析】6．数列{}na中，11a，121nnaa（*nN），则na=【巩固练习】1．在数列{}na中，若11a，123nnaa，则该数列的通项na=___________.2．在数列{}na中，1a=1,当2n时，有132nnaa，求na.3．已知数列{}na满足135nnaa，11a，求数列{}na的通项公式几种常见数列通项的求法答案【基础题过关】1．已知数列{}na满足12nnaa，而且11a，求通项na.21nan2．若数列na满足：11a，12nnaa（*nN），求12naaa．21nnS3．已知数列{}na中，11a，11113nnaa，则50a__________________．32nan，50352a一、利用数列的“周期性”求通项:【例题分析】1．（05年高考湖南卷试题）已知数列na满足10a，13()31nnnaanaN，则20a等于A．0B．3C．3D．32解析：令1n，则203301a；令2n，则333331a；令3n，则433031a．由此发现41aa，可猜想此数列具有周期性，2023aa∴．故选Ｂ．点评：由1a及递推关系先求出前几项，再归纳、猜想出na，这一方法比较适用于选择、填空题．对于解答题，猜想出na后，还应进一步证明（比如用数学归纳法）．【巩固练习】（02年希望杯）数列{}na中，112a，111nnaa，（2n且nN），求2003a。解：11,2a令2,3,4,n，则有23411,2,,2aaa,3,T则200321.aa二、“叠加”法求通项：对形如1()nnaafn的数列的通项，可用累加法。【例题分析】2．（2007北京文16理15）在数列{}na中，12a，1nnaacn（c是常数，1n，2，3，…），且1a，2a，3a成公比不为1的等比数列．⑴求c的值；⑵求{}na的通项公式．解：（I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc，解得0c或2c．当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c．（II）当2n≥时，由于21aac，322aac，1(1)nnaanc，所以1(1)[12(1)]2nnnaancc．又12a，2c，故22(1)2(23)nannnnn，，．当1n时，上式也成立，所以22(12)nannn，，．【巩固练习】1．已知数列{}na满足121nnaan，11a，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa[2(1)1][2(2)1](221)(211)1nn2[(1)(2)21](1)1nnn(1)2(1)12nnn，所以数列{}na的通项公式为：2nan2．(石景山文14)已知数列{}na满足122a，12nnaan，则数列{}na的通项公式为，nan的最小值为．222nann，54255a3．已知数列{}na满足12nnnaa，13a，求na．122nnaa=21n4．（08江西卷5）在数列{}na中，12a，11ln(1)nnaan，则naA．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn三、“叠乘”法求通项：对形如1()nnafna的数列的通项，可用累乘法。【例题分析】3．已知数列{}na满足113a，12321nnnaan（2n），求na.解：当2n时，23121aaaaaan…1nnaa，1412nan；当1n时，311a也满足，1412nan．【巩固练习】1．已知{}na中，12nnnaan且12a，求数列{}na的通项公式。4(1)nann2．（2007东城一模）已知数列{}na满足12nnanan*()nN，且11a，则na_________．(1)2nnna四、“倒数”法求通项:【例题分析】4．数列{}na中，若21a，nnnaaa311，则4aA．192B．1516C．58D．43解：31311,3111nnnnnnnaaaaaaa又naa1,2111是首项为21公差3的等差数列。562,2562533)1(211nannnann19254624a所以选A【巩固练习】1．已知数列{}na中，11a，121nnnaaa，则它的通项公式na_________．121nan2．已知数列{}na中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解:将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，,11a1211nnnaaana1211nnnaaa2111nnaa}1{na111a公差为2，所以，即.3．已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na是等比数列；4．数列}{na满足31a，115nnnnaaaa，求通项na.31514nan五、已知数列的和求通项：【例题分析】5．已知数列}{na满足211233333nnnaaaa，nN，求数列}{na的通项13nna【巩固练习】1．数列{}na中，123232nnaaana，求na．12,(1)2,(2)nnnann2．已知数列{}na满足11a，123123(1)nnaaaana（2n），求{}na的通项。!nan六、“待定系数法”求通项:【例题分析】6．（06年福建高考题）数列{}na中，11a，121nnaa（*nN），则na=A．n2B．12nC．12nD．12n,归纳总结：若数列na满足qpqpaann,1(1为常数），则令)(1nnapa来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。【巩固练习】1．（06重庆）在数列{}na中，若11a，123nnaa，则该数列的通项na________.123nna2．在数列{}na中，1a=1,当2n时，有132nnaa，求na.解：由13nnaa+2，两边同加1，得)1(311nnaa（2n）故1na是以211a为首项，公比为3的等比数列，故1321nna.说明:本题亦可由231nnaa，13nnaa+2（2n）两式相减得：)(311nnnnaaaa得nnaa1为等比数列求解．3．已知数列{}na满足135nnaa，11a，求数列{}na的通项公式解：设135nnaa可化为：13()nnaAaA展开得：132nnaaA对比系数得：25A，52A所以，数列52na是以152a为首项，3为公比的一个等比数列。1115573()3222nnnaa173522nna122)1(11nnan121nan