一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布99离散型随机变量的均值与方差正态分布课时规范训练

1第九章计数原理、概率、随机变量及其分布9.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·江西八校联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2解析：由题意得，P(80ξ100)＝P(100ξ120)＝0.4，P(0ξ100)＝0.5，∴P(0ξ80)＝0.1.答案：B2．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，σ(x)＝12π·10e(x∈R)，则下列命题中不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又正态曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．答案：B3．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，又X的分布列如下表，则m的值为()X1234P14mn112A.13B.14C.16D.18解析：由Y＝12X＋7⇒EY＝12EX＋7⇒34＝12·EX＋7⇒EX＝94⇒94＝1×14＋2×m＋3×n＋4×112.又14＋m＋n＋112＝1，2联立求解可得m＝13.答案：A4．已知X的分布列为X－101P121316且Y＝aX＋3，EY＝73，则a＝________.解析：∵EX＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，又EY＝E(aX＋3)＝aEX＋3＝a·－13＋3＝73，∴a＝2.答案：25．(2016·武汉模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．解析：由已知3a＋2b＋0×c＝1，∴3a＋2b＝1，∴ab＝16·3a·2b≤16·3a＋2b24＝124，当且仅当a＝16，b＝14时取“＝”．答案：1246．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.解析：设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，利用概率之和为1的性质，可得2a＋b＝1，又结合数学期望的公式得Eξ＝2(2a＋b)＝2×1＝2.答案：27．(2015·高考福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，3该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16，P(X＝3)＝56×45×1＝23.所以X的分布列为X123P161623所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.[B级能力突破]1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2386B．2718C．3413D．4772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544.解析：由P(－1X≤1)＝0.6826，得P(0X≤1)＝0.3413，则阴影部分的面积为0.3413，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×0.34131×1＝3413，故选C.答案：C2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，4P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝P－6＜ξ＜－P－3＜ξ＜2＝0.9544－0.68262＝0.1359＝13.59%，故选B.答案：B3．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4解析：方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：A1：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2：70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3：－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4：98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.所以A3盈利的期望值最大，所以应选择A3.答案：C4．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．解析：依题意得x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，即x＋y＝0.6，7x＋10y＝5.4，由此解得y＝0.4.答案：0.45．“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司5每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2500元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为____元．解析：设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为：X－1002500P0.20.8故EX＝(－100)×0.2＋2500×0.8＝1980(元)．答案：19806．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，Eξ＝1，则Dξ＝________.解析：设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解．设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15，所以Dξ＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2015·高考山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X为：0，－1,1，所以P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，6P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为X0－11P231141142则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.