一阶常微分方程.

例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为一、问题的提出微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1:常微分方程,偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:分类3:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,yy例;xCey通解,0yy;cossin21xCxCy通解(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.例验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为.cosktAx微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)可分离变量的微分方程:()()dyfxgydx解法:2.两边同时积分:1()()dyfxdxcgydyxdxy例解微分方程,ydyxdx分离变量得22111,22yxC两边积分得22,xyc即dyfxydggxy1()0()()分变量1离:.求方程xyxy2dd的通解.解0y时，分离变量,xxyyd2d,积分Cxy2||ln,或写为2eexCy,记CCe1,则通解为2e1xCy.可简写为：分离变量,xxyyd2d,积分Cxylnln2,则通解为2exCy.例100Cy()时，解ydxxxdy2(4)0例求的通解xxydxdydxdyxxyxxy2:4,0,01111,,()444解时分离变量得,即11,(ln||ln|4|ln)ln||4xxCy两边积分得4:(4),xyCxC通解即为其中为任意常数求方程0d)ee(d)ee(yxyyxxyx的通解.解0y时，分离变量:1edee1dexxyyxy,两边积分:Cxyln)1eln()1eln(,即所求通解为Cyx)1e)(1e(.例例.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y2.可化为分离变量的某些方程(1).齐次方程形如令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例解微分方程.tanxyxydxdy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)例求方程0)()(yxyyx的通解.解原方程变形为xyxyxydd11xyxy,作变量代换xyu,代入原方程得11dduuxuxu,分离变量得xxuuudd112,,xuy,ddddxuxuxy是齐次方程,积分得Cxuu||ln)1ln(21arctan2,或写成uCuxarctan12e1,再将xyu代入,得通解为分离变量得xxuuudd112,xyCyxarctan122e例.解微分方程yxyxdxdy解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x11ydyxydxx此为齐次方程，令yux2121duuuxdxu分离变量，再两边积分222112uuCx将u带回得222(2)1Cxxyy22'yyxyx例　求方程　的通解ydyduuyuxuxxdxdx解：令　，即　则　　21duuuxdxu2()1uxduudxu11ududxux1ln||ln||uuxc积分　1ln||uuxc1ln||yycx通解：　220(0)yxydxxdyx例求方程()的解2::1()dyyydxxx解方程为,,,yuyuxux令则代入并化简得21uxuuu,分离变量并积分得2ln(1)lnln(0)uuCxC,yux将代入化简得222()yxyCx(2).型方程作变换例.求方程的通解2)(yxdxdy解：令则得方程通解为将代回得原方程通解(3)形如iiiaxbycdyfaidxaxbyc111222.1,2,b,c为常数,c2221当c0时:abab11220iaxbycaxbyc11122200xy00,有唯一解uxxvyy00,令aubvdvfuvduaubv1122,,则这是关于的齐次方程.cxy20,1当c时为的齐次方程---形1.abb1120,当=0时,由=0,=0axcyfaxc1122cabyfaxbyc111222.当=0时,方程为abab11220iiababkab1122110,,,当时,记zaxby11令zcdzdyababfdxdxkzc111112则aba1120,当0时,由=0,=0bycyfbyc112213dyxydxxy.例求的通解解,021111,0301khkh方程组,2,1kh.2,1YyXx令,YXYXdXdY代入原方程得，令XYu,11uudXduXu分离变量、积分得XuuC22(21),,222CXXYY即代回，将2,1yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy方程变为3、一阶线性微分方程yPxyQxxd()()(1)d一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当例如,dd2xyxy,sindd2ttxtx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.线性：关于未知函数及其导数都是一次的yy齐次线性方程0)(yxPy(1))()(xQyxPy(2)1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；3、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(2)的解；4、方程(2)的任意两个解之差是(1)的解.线性方程解的性质非齐次线性方程.yYy设)(xy是方程(2)的一个特解,)(xY是(1)的通解,那么方程(2)的通解为.yYy设)(xy是方程(2)的一个特解,)(xY是(1)的通解,那么方程(2)的通解为]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxPxxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)(对应齐次方程的通解非齐次方程特解设)(),(21xyxy分别是非齐次方程则)()(21xyxy为非齐次方程)()(1xfyxpy的特解,线性方程解的叠加性质和)()(2xfyxpy)()()(21xfxfyxpy的一个特解..0)(ddyxPxy,d)(dxxPyy,d)(dxxPyyln||()dln,yPxxC齐次方程的通解为.ed)(xxPCy1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法使用分离变量法这里记号xxPd)(表示)(xP的某个确定的原函数.dyQxdxPxydx()()dyQxdxPxdxyy()()形式求积：QxydxPxdxy()ln()()()()()1QxdxPxdxPxdxyyeeuxe记为（）的形式解形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必()()。然因如的数此是形函PxdxuxeddyPxyQxx2()()、求的解先来观察，若（1）有解，其解形状如何？对方程作形式求解：将（1）改写成PxdxuxQxe()'()()即PxdxuxQxedxc()()()(*)所以　，代入得PxdxPxdxyQxedxce()()(())(1)所以　方程的通解PxdxPxdxPxdxyQxedxece()()()(())或　上述解方程的方法，叫做常数变易法，用于求解线性非齐次方程。PxdxPxdxPxdxPxdxyuxeuxePxdxuxepxuxe()()()()''()()(())''()()()则PxdxPxdxPxdxuxepxuxepxuxeQx()()()'()()()()()()Pxdxyuxeux()()(1)(())(*)设　　是的解其中待定　－　将y和代入（1）：y齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即()0,ypxy1.对于一阶线性分离变齐次方程量法解得()()pxdxycec为任意常数yPxyQx()()非齐次微分求一阶线性的方程解的方法:2.常数变易法求相应非齐次方程的解,设其解为:()()()pxdxyuxeu为待定函数3.代入原非齐次微分方程解得其通解为PxdxPxdxyeQxedxcc()()(()())为任意常数32'(1)1yyxx例　求的通解21'01yyx、求的通解21dydxyx2ln||2ln(1)lnln||ln(1)yxcycx　即　　2(1)ycx通解为　解：22(1)yux、设是原方程的解，则2''(1)2(1)yuxux23'(1)2(1)2(1)(1)uxuxuxx代入方程：21(1)2uxc221(1)(1)2yxcx原方程的通解也可以直接代公式求解32(1)1