一阶微分方程的解法探讨

目录中英文摘要......................................................1第一章引言.....................................................2第二章可分离变量类型的一阶微分方程.............................22.1变量分离方程............................................22.2可化为变量分离方程类型..................................2第三章一阶线性微分方程.........................................63.1一阶齐次方程............................................63.2一阶非齐次方程..........................................63.3伯努利方程..............................................73.4黎卡提方程..............................................8第四章恰当微分方程............................................104.1恰当微分方程...........................................104.2积分因子...............................................11第五章高次微分方程............................................13第六章结论...................................................14致谢...........................................................15参考文献.......................................................151一阶微分方程的解法探讨陈棋（数学与应用数学系指导教师：柳志千）摘要：本文主要是给出了一阶微分方程的初等积分法.其中,常用的方程类型有三种：一、可分离变量类型的方程,包括可直接进行分离变量的方程、齐次方程及通过变量替换化成齐次方程的方程；二、介绍了一阶线性方程、伯努利方程以及黎卡提方程,其中对于一阶线性非齐次方程采用常数变易法、积分法和公式法这三种解法；三、恰当微分方程和积分因子,并简要的介绍了一阶高次微分方程.在此基础上,结合部分经典的例子来进行对一阶微分方程的解法进行探讨来加深对解法的认识.本文的主要目的是为了帮助初学者理清一阶常微分方程的初等积分法的解法思路,方便于教师的教学.关键词：一阶微分方程；初等积分法；高次微分方程；积分因子Toexplorethesolutiontothefirst-orderdifferentialequationsChenQi(MathematicsandAppliedMathematicsDepartment,Advisor:LiuZhiqian)Abstract:Thisarticlemainlygivesthefirst-orderdifferentialequationofelementaryintegralmethod.Amongthem,therearethreekindsofcommonlyusedequationtypes:First,thetypesofequationsofseparablevariables,includingtheseparationofvariablescanbedirectlytotheequation,homogeneousequationandtheequationbyvariablesubstitutionintohomogeneousequation;Second,introducedthefirstorderlinearequation,BernoulliequationandtheRiccatiequations,oneforordernonhomogeneouslinearequationswithconstantvariationmethod,theintegralmethodandformulamethodthesethreesolutions;Third,exactdifferentialequationandintegralfactor,andbrieflyintroducesthefirst-orderofhighorderdifferentialequation.Onthisbasis,combinedwithsomeclassicexamplesofsolutionsoffirstorderdifferentialequationisdiscussedtodeepenourunderstandingofsolutions.Themainpurposeofthisarticleistohelpbeginnerstountangletheelementaryintegralmethodoffirstorderordinarydifferentialequationsolutionconcept,convenientinteachers'teaching.Keywords:First-orderdifferentialequation;Highorderdifferentialequation;Constantvariationmethod;Integratingfactor2一、引言微分方程已越来越成为一门活跃的数学分支,在现实世界中扮演着重要的角色.而常微分方程是数学系学子必修的一门应用广泛的专业基础课,该课程在对思维能力的培养是十分有用的.同时,它对分析能力的促进有着非常关键的作用.通过对该课程的学习,我们知道微分方程的解法是多样的,它没有通用的解法,这给初学该课程的学生造成了一定的困难,不利于教学的实施,故探讨一阶微分方程的各种解法及其思想是十分必要的.(,,)0Fxyy或,yfxy两种一般形式的一阶微分方程是我们熟知的[1].通过对常微分课程的学习,我们知道解法的多样性导致了它的复杂性.本文主要探讨某些一阶微分方程类型的相应的求解方法.二、可分离变量类型的一阶微分方程[2]2.1变量分离方程一个能改写成gydyfxdx的形式的微分方程,我们就把这样的方程称为可变量分离的方程.对该方程的两边直接进行积分就是这类方程的最直接的解法[3].即：()()gydyfxdxC（C为任意常数）2.2可化为变量方程方程类型[4](1)齐次方程：可化为的dyyhdxx形式的方程[5].注意到右端仅是关于xy的一元函数,引入xyu,这首先简化了方程；其次uxy,dxduxudxdy,就化为关于u的方程：.uFdxduxu（1）即：.xuuFdxdu（2）我们可以看到,式子（2）是一个典型的类型2.1的方程.这样就求解了齐次方程问题.(2)形如111222axbycdydxaxbyc3的方程[6]也是一类可经过相应的变量替换转化为可变量分离方程.我们要注意的是这里所表示的121212,,,,,aabbcc均是常数.对于上面这种形式的方程,我们的做法就主要是分三种情形来进行讨论：1)111222abckabc（常数）情形.那么,自然地化为如下：,dykdx则方程有通解：,ykxc其中c为任意常数.2)111222abckabc情形.令22,uaxby这时有：122222kucdudyababdxdxuc是变量分离方程.3)1122abab情形当12,cc不都是为零的时候,且满足分式是关于,xy的一次多项式,我们的想法联立：1112220,0axbycaxbyc（3）求解,设解为,.这时我们就令：,,XxYy（4）并代入方程组（3）.这时方程组就自然变成如下：11220,0,aXbYaXbY从而：41122.aXbYdYYgdXaXbYX接下来,要做的工作只需对上述的方程求解并代回原变量就好.如果方程中120,cc可不必要去求方程组（3）,我们可直接取变量替换yux即可.可分离变量类型的方程是一阶微分方程中最基本的方程[7],这样的思想在上述的讨论中显而易见.我们在用初等积分法求解的时候,主要的思路是通过去寻找恰当的变量替换转化成我们所熟悉的方程类型.例1求方程0xyxdyeedx的通解.解：原方程可以变形为：1.xydyeedx当0y时,分离变量并进行积分,得：11,1xydyedxCe即11,1xydyeCe因此1ln1.yxeeC即：1,xyeeCe这里所出现的1CCe,它是任意常数,但0.C于是得该方程的解为：ln1.xeyCe又因0y也是方程的解,并且它可以看成是方程的解的表达式中0C得到的.故该方程的通解为ln1.xeyCe例2求解微分方程2dyxxyydx0.x解：将原方程整理后,得：2dyyydxxx0.x可以看出,这是一个关于yx的一阶线性齐次微分方程.这时,我们作变量替换,令yux,我5们知道有dyduxudxdx这样的式子成立.现将该式子代入整理后的方程,则该方程就变成如下形式：2.duxudx分离变量得：.2dudxxu积分后,得通解为：ln().uxc即当ln()0xc时,2ln(),uxcc在这里是一任意常数.可以注意到方程还有另一个解,即0.y最后,通解中yux替换.得通解为：2ln(),ln()0,0,xxcxcy它是在x轴的整个负半轴上定义的.例3求方程13dyxydxxy的通解.解：对于该方程,联立：1=03=0xyxy，解得方程组有解1,2.xy令1,2.xuyv将其代入原方程,即可以得到这是一个关于新变量的齐次方程,为：6.duuvdxuv可以看出,上式是关于,uv的齐次方程.接着,我们作变量替换,vuz可得：21,1dzzuduz分离变量后积分得：21,1zdzduzu21arctanln(1)ln.2zzuC最后将变量逐个还原,整理得通解：222arctanln12.1yxyCx（C为任意常数）评注：本题是上述的最后一种类型.对它求解,是通过坐标平移先转化成齐次方程求解.三、一阶线性微分方程一阶线性方程[8]：形如dyaxybxdx的微分方程.它分为两类：当0bx时,称作齐次方程；当0bx时,称作是非齐次方程.3.1线性齐次方程对于一阶齐次线性方程yaxy的解法,其中一种最常用的解法是运用类型一中齐次方程的解法；而另一思路是恒等变形化成一函数的导函数.得其解为axdxyCe.3.2线性非齐次方程本文主要介绍三种方法.1.常数变易法：解决方程yaxybx的最常用的方法.思路是先用变量分离法求相应的齐次方程yaxy的通解,从上文知方程的解为axdxyCe,然后,我们将解中的C换成关于x的待定函数Cx.令()axdxyCxe（5）微分可得到：().axdxaxdxdydCxeCxaxedxdx（6）7式（5）,（6）代入yaxybx,得：