七年级下十字相乘法分解因式教案

1苏州新希望教育个性化教案教师姓名陆战学生姓名年级七年级辅导科目数学上课时间课时2课题名称因式分解——十字相乘法教学及辅导过程【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式cbxax2，称为字母x的二次三项式，其中2ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，322xx和652xx都是关于x的二次三项式．在多项式2286yxyx中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式37222abba中，把ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：2（1）对于二次项系数为1的二次三项式qpxx2，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式))(()(2bxaxabxbax分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,ccaa，使aaa21，ccc21，且bcaca1221，那么cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522xxyxyx3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：3（1）1522xx；（2）2265yxyx．点悟：（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项26y可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522xxxx；（2）)3)(2(6522yxyxyxyx．例2把下列各式分解因式：（1）3522xx；（2）3832xx．点悟：我们要把多项式cbxax2分解成形如))((2211caxcax的形式，这里aaa21，ccc21而bcaca1221．解：（1）)3)(12(3522xxxx；（2）)x)(x(xx3133832．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3把下列各式分解因式：（1）91024xx；（2）)(2)(5)(723yxyxyx；（3）120)8(22)8(222aaaa．点悟：（1）把2x看作一整体，从而转化为关于2x的二次三项式；（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；4（3）以)8(2aa为整体，转化为关于)8(2aa的二次三项式．解：（1）)9)(1(9102224xxxx＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．（2）)(2)(5)(723yxyxyx]2)(5)(7)[(2yxyxyx＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．（3）120)8(22)8(222aaaa)108)(128(22aaaa)108)(6)(2(2aaaa点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4分解因式：90)242)(32(22xxxx．点悟：把xx22看作一个变量，利用换元法解之．解：设yxx22，则原式＝(y－3)(y－24)[phone]yy＝(y－18)(y－9))92)(182(22xxxx．点拨：本题中将xx22视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良5好效果．此外，)9)(18(162272yyyy一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5分解因式653856234xxxx．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222xxxxx]50)1(5)1(6[22xxxxx，令yxx1，则原式)5056(22yyx)103)(52(2yyx)1033)(522(2xxxxx)3103)(252(22xxxx)13)(3)(12)(2(xxxx．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6分解因式655222yxyxyx．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．解法1：655222yxyxyx6)55()2(22yxyxyx6)(5)(2yxyx6)6)(1(yxyx．解法2：655222yxyxyx65)52(22yyxyx)1)(6()52(2yyxyx)]y(x)][y(x[16＝(x－y－6)(x－y＋1)．例7分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b))(2222baabbccbcaac)()()(222baabbacbac)())(()(2baabbabacbac])()[(2abbaccba＝(a－b)(c－a)(c－b)．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．例8已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624xxx是四次多项式，有一个因式是42axx，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32bxx（a、b是待定常数），故有12624xxx2(x)3()42bxxax．根据此恒等关系式，可求出a，b的值．7解：设另一个多项式为32bxx，则12624xxx)3)(4(22bxxaxx12)43()43()(234xbaxabxbax，∵12624xxx与12)43()43()(234xbaxabxbax是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a＝－1，b＝1，代入②，等式成立．∴a＝－1，另一个因式为32xx．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9分解因式：22210235yabyba．错解：∵－10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．【同步练习】8一、选择题1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于()A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)2．如果305)(22xxbxbax，则b为()A．5B．－6C．－5D．63．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是()A．22xxB．xxx310322C．242xxD．22865yxyx5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．20)(13)(22yxyxB．20)(13)22(2yxyxC．20)(13)(22yxyxD．20)(9)(22yxyx6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()①672xx；②1232xx；③652xx；④9542xx；⑤823152xx；⑥121124xxA．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题7．1032xx__________．8．652mm(m＋a)(m＋b)．9a＝__________，b＝__________．9．3522xx(x－3)(__________)．10．2x____22y(x－y)(__________)．11．22____)(____(_____)amna．12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为(__________)．13．若x－y＝6，3617xy，则代数式32232xyyxyx的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724xx；（2）36524xx；（3）422416654yyxx；（4）633687bbaa；（5）234456aaa；（6）422469374babaa．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(xx；（2）9)2(22xx；（3）2222)332()123(xxxx；（4）60)(17)(222xxxx；（5）8)2(7)2(222xxxx；（6）48)2(14)2(2baba．16．把下列各式分解因式：（1）baaxxba2)(2；（2）))(()(222qpqppqxqpx；（3）81023222