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第四讲应用与方程第三章简易方程第一节用字母表示数符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具，学生学习数学的目的之一就是要懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展符号感。《数学课程标准》中也明确指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并能用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。”代数是算术的继续和推广，“用字母表示数”是学习代数初步知识的起步，也是“人类认识的一次飞跃”。在算术里，人们只对一些具体的、个别的数量关系进行研究，引入用字母表示数后，就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系。可以说，学习代数就是从学习用字母表示数开始的。作为数学教师我们不能仅认为用字母表示数是因为不知道这个数是多少而引入的，运用主要是在解方程中用来表示未知量，而应该把握用字母表示数的实质。当我们迈步走入数学历史的长河中，我们才发现“用字母表示数”最早是古阿拉伯数学家花拉于米用文辞叙述的，之后是古希腊数学家丢番图用字母的缩写表示的，直到17世纪才由法国数学家韦达不仅用字母表示未知量，而且用字母表示系数，从而实现了人类认识的跨越，打开了近代代数学的大门。用字母表示数经历了“文辞代数、缩写代数、符号代数”三个历史阶段，从三个阶段的发展，我们能感受到“用字母表示数”的实质是符号化，绝不是用字母替代某数量。由此，教学《用字母表示数》的要义显然在于让学生理解，一个已知的量为什么还要用字母表示，理解了这一点才能使学生的认识实现由具体向形式化的飞跃。实际上，不仅仅是“用字母表示数”，数学中战略性概念的建构，其背后都闪烁着数学思想的熠熠光芒，都是数学认识上的一次重大突破，脱离了历史背景，就看不清它的来龙去脉，自然也就无从体会其数学本质。一、教学目标及理念的演变。《标准》中对“用字母表示数”的内容及要求是：“在具体的情境中会用字母表示数。”而《大纲》的要求是：“会用字母表示数、常见的数量关系、运算定律和公式。”表面上看没有什么区别，但这却是一个理念性的改变，《标准》指出“义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。”“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这些是对数学课程功能的重新定位，这一理念应贯穿于数学课程改革的全过程。标准中更强调学生在具体的情境中学习数学，对学习内容的认识上，实验教材更多地基于对建构主义知识观和学习观的理解，强调知识应该在学生丰富多彩的学习活动中主动建构，与原义务教育教材比较关注知识本身的体系结构相比，实验教材更明显地将用字母表示数作为一个整体去学习，尤其是北师大版的教材，这一特点更加突出。对学习主体的假设上，原义务教育教材比较关注较低层面的学生的能力水平状况，因而教材重视准备，步子较细，这在满足这部分学生的同时，对另一部分学生而言，显得学习的起点偏低。实验教材特别是北师大版的教材，则将学生的能力水平定位在一个合适的层面上，充分相信学生的生活经验对他的学习具有有效的支持作用，充分肯定学生在学习过程中对数学知识和方法具有自主迁移的能力，能够通过自己的探索建构知识，这是对学习主体认识上的进步，但同时并非每个学生都达到了教材所定位的层面，这是在教学中需要关注的。基础性是义务教育的基本要求，在义务教育阶段为学生打好数学基础，使学生学到作为一个公民所应具备的数学知识，同时要有利于学生的发展。“有价值的数学”是课程内容的基本要求。用字母表示数正是这样一个现代“公民所应具备的”，“同时有利于学生的发展”的“有价值的数学”内容。《标准》与以前的《大纲》相比内容并没有什么增多，但在数学思想方法上，有了十分明显的改变与增加。数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，是人们对数学理论与内容的本质认识，是对数学规律的理性认识。在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，是数学的灵魂。而课标教材更加注重渗透符号化思想、建模思想和函数思想。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。数学建模思想，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假设。它是把生活中实际问题转化为数学问题（模型）的一种思想。建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。积极探索“问题情境——建立模型——解释应用”的模型。培养学生用数学的眼光去认识和处理周围事物或数学问题，乃数学教学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性，函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。对于“用字母表示数”的教学而言，《标准》与《大纲》相比实际上要求是提高了，这个提高主要体现在：1、学生初次接触的时间提前，由五年级提前到四年级；2、情境的变化，由枯燥的计算向具体的实例情境转变；3、更加关注数学思想。我们教师对于这些变化要有一个明确的认识，改变是社会发展的需要，是学生学习的需要。二、教材和教学内容的演变。以往的中小学数学课程内容，用字母表示数的内容偏少，尤其是新大纲中虽然增强了这部分内容，但仍然是站在数学学科的知识体系来安排这些内容的，而那些与现实情境和学生生活密切相关的情境，向学生展现得不多。学生所学的内容过窄过难，既不能引起学生学习的兴趣也不能使学生了解数学这门学科的核心价值，更不明白这部分内容教学的意义，反映出小学数学课程结构的不合理性。建立比较合理的、对学生有价值的数学课程结构，成为这次数学课程改革的一个重要任务。用字母表示数在义务教育六年制小学数学教材中被安排在五年级上册，而课标（北师大版）教材把这部分内容安排在四年级下册，具体见下表：册别义务教育第九册课标（北师大版）教材第八册内容用字母表示数（86—95页）用字母表示数（85—87页）教学目标会用字母表示数、常见的数量关系、运算定律和公式；能够将数字代入字母公式进行计算；通过本课知识的教学培养学生的抽象概括能力。在具体的情境中，会用字母表示数，会用字母表示运算律和有关图形的计算公式；在探索用字母表示数的过程中，渗透符号化思想、建模思想和函数思想，发展学生的抽象概括能力。用字母表示数在工作和生活中的应用越来越广泛。增加这部分内容是课改的必然要求，通过统计量的教学渗透符号化思想、建模思想和函数思想，发展学生的抽象概括能力，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。三、教学中需要明确的几个概念。从理性角度分析,作为算术知识和代数知识的交汇区的“用字母表示数”这一内容,虽然小学生对此缺少足够的感性支撑,但其对字母语言并不陌生,这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用○、△或□表示数）的基础上，进行学习的。在教学这部分内容的时候，我们需要明确以下概念：1、代数式。代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与表示数的字母连结而成的式子。单独的一个数或者字母，也是代数式。例如：a＋b，ax＋2b，c，……2、代数式的值。用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果就是代数式的值。求代数式的值可以直接代入、计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。3、乘方。求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。乘方算是一个三级运算。在an中，相同的乘数a叫做底数，a的个数n叫做指数，乘方运算的结果an叫做幂。an读作a的n次方，如果把an看作乘方的结果，则读作a的n次幂。a的二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也可以读作a的立方。4、等式。表示相等关系的式子叫做等式。等式有恒等式和条件等式两种。等式的性质有三：性质1：等式两边同时加上(或减去)相等的数或式子，两边依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（a,b≠0或a=b，c≠0）性质3：等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。若a=b那么有ca=cb除此以外，相等关系“=”还有以下更基本的性质：（1）如果a=b那么b=a这条性质叫做相等关系的对称性。我们有时把8=改写成=8，就是利用了相等关系的对称性。（2）如果a=b并且b=c那么a=c这条性质叫做相等关系的传递性。根据对称性和传递性，可以知道，如果a=b并且b=c那么a=c这条性质可用文字说成“等于同一量的两个量相等”，简称为等量代换，这在中学数学中十分有用。小学为什么要学习等式的性质？长期以来，在小学教学简易方程，方程变形的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。现在，根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。另外，从国内部分地区的先行实验来看，等式基本性质所反映的数学事实，比较浅显，小学生凭借自己的知识经验，不难发现其变化规律。只要处理得当，把它作为解简易方程的依据也是可行的。引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，一个相应的措施就是调整简易方程的基本内容，暂不出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程。这是因为小学生还没有学习正负数的四则运算，利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如a÷x=b的方程，本质上是分式方程，依据等式的基本性质解需要先去分母，同样不适合在小学阶段学习。事实上，回避这两种类型的简易方程，并不影响学生列方程解决实际问题。因为当需要列出形如a-x=b或a÷x=b的方程时，总可以根据实际问题的数量关系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。这也体现了列方程解决问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就比较容易显现出来了，比如，解形如x+a=b与x-a=b的方程，都可以归结为，等式两边减去（加上）a，得x=b-a与x=b+a。解形如ax=b与x÷a=b的方程，都可以归结为，等式两边除以（乘上）a，得x=b÷a与x=ab。显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。所以，小学引进了等式的性质，是为了学生以后的数学学习，为学生的可持续发展提供动力。5、不等式。用大于、小于号等没有等号连接的式子是不等式，其连接两个式子的符号就是＜、＞、≤、≥、≠。不等式的性质有：不等式基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。不等式基本性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式基本性质3不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。不等式还有以下性质：性质1:如果ab,bc,那么ac(不等式的传递性)。性质2:如果a＜b,那么b＞a（不等式的反对称性）。性质3:如果ab,那么a+cb+c(不等式的可加性)。性质5:如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acb,cd,那么a+