《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书课程名称：计算方法英文名称：NumericalCalculationMethod一、实验的性质、目的和任务本实验是与本专业基础课《计算方法》相配套的，旨在巩固专业课内容和学生编程的能力。通过实验加强对数值方法的理解和掌握，编制出适用的程序。同时，在理论教学的基础上，注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性的理论；其次要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。要求学生应用高级计算机语言编程完成实验。二、实验基本要求实验基本要求：要求熟悉高级计算机语言，以及相关上机操作说明；上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备；实验内容要求：（1）认真分析题目的条件和要求，复习相关理论知识，选择适当的解决方案和算法；（2）编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；（3）上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；（4）分析和解释计算结果；（5）程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果；（6）按照要求书写每次实验的实验报告。（7）要求独立完成上述各项。三、实验原理应用高级计算机语言实现数值计算方法课程中的各种算法。四、实验环境实验设备：计算机实验使用的语言：C语言、Java语言或Matlab语言任选五、考核与报告(1)本课程的评分方法是考查，实验作为平时成绩占学期期末总成绩的30%。(2)每个实验完成后必须完成相应的实验报告。实验成绩组成为：实验报告占40％；按照教学计划的实验，现场编程序，演示计算结果占50％；创新占10％。六、实验报告格式实验报告在书写过程中应该将以下问题写清楚1、实验目的：2、实验要求:3、实验内容：4、实验题目：5、设计原理与思想：6、对应程序：7、实验结果及其分析：8、计算中出现的问题，解决方法及体会：七、《计算方法》课程实验项目名称和实验目的及实验内容如下实验一非线性方程求根一、实验类型验证性二、实验学时2学时三、实验目的:1、掌握计算机上常用的一些求非线性方程的近似根的数值方法（二分法、迭代法、牛顿法、割线法），并能比较各种方法的异同点；2、掌握迭代的收敛性定理，局部收敛性、收敛阶的概念3、正确应用所学方法求出给定的非线性方程满足一定精度要求的数值解。四、实验内容:1、计算方法或步骤(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)(2)按公式kkkkxfxfxx'1迭代得新的近似值xk+1。(3)对于给定的允许精度，如果kkxx1则终止迭代，取1*kxx;否则k=k+1，再转步骤(2)计算2、牛顿法流程图3、实验题目1)用迭代法求方程012)(3xxxf的根。方案1：化方程为等价方程)(213xxx取初值00x，迭代10次。方案2：化0)(xf为等价方程)(123xxx取初值00x，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。2)用牛顿法求方程013xx在5.1x附近的根。方案1：使用牛顿法并取5.10x，由)()(1kkkkxfxfxx得131231kkkkkxxxxx迭代10次。方案2：取00x，使用同样的公式131231kkkkkxxxxx迭代10次，观察比较并分析原因。实验二解线性方程组的直接方法一、实验类型验证性二、实验学时2学时三、实验目的:1、掌握解线性方程组的几种基本常用的直接法，并能比较它们各自的优缺点；2、熟练高斯消元法的基本原理及选主元的思想；四、实验内容:1、设计原理及思想：设Ax=b,其中ARnn。如果A为非奇异矩阵,则可通过Gauss消元法(及交换两行的初等变换)将方程组Ax=b约化为)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11nnmnnnnnbbbxxxaaaaaa.且计算公式为:(a)消元过程设0)(kkka,对1,,2,1nk计算nkkjibmbbamaaaamkkikkikikkjikkijkijkkkkikik,,2,1,/)()()1()()()1()()((b)回代过程1,2,,1/)(/1)()()()()(niaxabxabxnijiiijiijiiinnnnnn2、Gauss消元法的流程图:流程图中，,(,1,2,...,)ijiabijn分别为线性方程组的系数矩阵和常数向量；k是循环次数。3、实验题目：用高斯消元法接下面的方程组0723112412345244321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx实验三插值法一、实验类型验证性二、实验学时2学时三、实验目的:1、了解插值的基本原理2、掌握多项式插值的概念、存在唯一性；3、能熟练地应用构造几种常用方法，如Lagrange插值、Newton插值、三次样条插值。四、实验内容:1、设计原理及思想：(1)lagrange插值：对于给定的插值节点及函数值，n次Lagrange插值多项式为)()()(0xlxfxLjnjjn。其中)(xlj为lagrange插值基函数，njiiijijxxxxxl0)(，nj,2,1,0。)(xlj为n个线性无关的n次多项式(jijixlj01)()。(2)Newton插值给定插值点序列（))(,iixfx,,,1,0,ni。构造牛顿插值多项式)(uNn。输入要计算的函数点,x并计算)(xNn的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(xNn的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。其计算步骤如下：a)输入n值及（))(,iixfx,,,1,0,ni；要计算的函数点x。b)对给定的,x由00010101201101()()(),()(),,()()(),,nnnNxfxxxfxxxxxxfxxxxxxxxxfxxx计算)(xNn的值。c)输出)(xNn。2、实验题目：被插值函数与被插值区间为：22511)(xxf，]1,0[],[ba，若插值点为i12345ix0.030.170.651.11.3用Lagrange插值，Newton插值解题，并比较结果。实验四数值积分一、实验类型验证性二、实验学时2学时三、实验目的:1、了解数值积分的基本原理和方法；2、熟练掌握复化梯形公式、复化Simpson公式及其截断误差的分析；四、实验内容1、设计原理及思想：由于高阶牛顿--柯特斯公式是不稳定的，因此不可能通过提高阶的方法来提高求积精度，为了提高精度通常可把积分区间分成若干n等份，再在每个子区间上用梯形公式即当n=2时的Newton-Cotes公式进行计算，最后将所有区间上的梯形相加即可得该积分的近似值。)]()(2)([2)]()([211110bfxfafhxfxfhTnkkknkkn，它的余项公式是2()()12nbaRfhf，实际上nnTIfR)()()],(12[1,103kknkxxfh,)(1)(10nkkfnf；具体计算步骤如下1）.给出被积函数f（x）、区间[a，b]端点a，b和等分数n；2）.求出nabhhkxk,*；3）.计算)(af、)(bf、10)(nkkxf；4）.得**21hTn)()()(10bfxfafnkk2、流程图：3、实验题目用梯形公式计算由下表数据给出的积分1.50.3()dyxx。k1234567xk0.30.50.70.91.11.31.5yk0.38950.65980.91471.16111.39711.62121.8325已知该表数据为函数y=x+sinx/3所产生，将计算值与精确值作比较。解：积分为1.52220.31cos111.50.3cos1.5cos0.31.374866429152632323xxy=0输入xi,yi,及n,x,k=0