《量子力学II》教案

1《量子力学II》教案授课时间2006.11.1410:00-12:00第18次课授课章节第十二章散射复习，习题课任课教师及职称孟庆田教授教学方法与手段启发式讲授，多媒体课件课时安排2学时使用教材和主要参考书曾谨言：《量子力学导论》北京大学出版社周世勋：《量子力学教程》人民教育出版社教学目的与要求：掌握量子跃迁和散射理论各部分的知识点。教学重点，难点：教学内容：学习要点一、量子态随时间的演化对Hamilton不含时的体系，Schrödinger方程)()(tHtti的解为)0()0()()(/iHtetUt若采取能量表象，则有nntiEnneat/)(二、对于Hamilton含时的体系，存在瞬态本征值方程))(())(())(())((ˆtRtREtRtRHmmmS-方程的一般解可以表示为2))(())((exp)()(0tRtdtREitCtmtmmm而绝热近似解可写为))(())((exp)()(0tRtdtREitatntnn其中)()(tinneta.且为实数的Berry绝热相)(tn可写为tnnntRttRtdit0))(()),(()(三、量子跃迁几率对于含时Hamilton体系，体系的状态可以写成某一力学量完全集F本征态的叠加，即ntiEnnknetCt)()(则在时刻t去测量力学量F得到Fn的几率为2)()(tCtPnknk而上式也是体系从初始状态k跃迁到n态的跃迁几率。而跃迁速率可以写为2)(dd)(ddtCttPtwnknknk四、含时微扰论含时微扰论的一级近似解为tHeitCkktikkkkd1)(0)1(有简并的情况下跃迁几率为mmnlmmlnlnnlPlP,,121与不含时微扰的关系对长时微扰kkkkEEkHkk')0(,对短时微扰2222')2()2(sin)(kkkkkkkkTHtP.3五、黄金规则单位时间的跃迁几率（跃迁速率）为kkkkkkEEHw2'2从初态k到kkEE~'附近一系列可能末态的跃迁速率之和为2)(2)(dkkkkkkkHEwEEw此公式称为Fermi黄金规则六、能量-时间测不准关系2~tE意义:能量分辨和时间分辨是不可能同时达到高精度要求的。七、光的吸收与受激辐射此时微扰项tWHkkkkcos'''跃迁几率)2/)((4)(22kkkkkkWttP跃迁速率)(cos222022'kkkkkkEDw如入射光是非偏振光，光偏转的方向是完全无规的，此时可把2cos换为它对空间各方向的平均值，此时)(62022kkkkkkEDw非偏振自然光引起的跃迁速率，要对各成分贡献求和，从而有)(342222'kkkkkkrew2kkr部分与分子的性质密切相关。八、自发辐射的Einstein理论由光的吸收的跃迁几率公式)(342222'kkkkkkrew可以给出吸收系数的公式4222234kkkkreB并且可证明受激辐射系数等于吸收系数。而对于自发辐射系数，Einstein利用热平衡和统计物理的知识，与黑体辐射理论相结合，得到2'33'2'||34kkkkkkrceA九、散射现象的描述粒子通过介质时xejxj)0()(1.散射的量子力学描述中心势作用下的波函数在r处的渐近行为是refeikrikz)(散射截面（又称微分截面或角分布）与散射振幅的关系2)(dd1)(fnji总截面dsin)(220ft。2.分波法是在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍计算方法。通过对中心力场中守恒量的分析，得出了入射波按守恒量的本征态展开)(21)12(40)2()2(0illkrilkrillrkzYeeikrile考虑到散射波函数refeikrikz)(与上式形式上的相似性，可以求得中心力场中径向波函数的l分波的表达式)(2)()12(4~)(krhakrjilkrRlllll（入射波）（散射外行波）或ikreeailkrRlkrilkrillrl2)1()12(4)(2()2(5考虑到弹性散射中的几率守恒，有)2sin()12(4)(lilrllkreilkrRl这就是求解l分波的径向方程01dd12222lRrUrllkrr）（）（时lR所应满足的边界条件。最后得出散射振幅、微分截面及总截面用各分波的相移l来表示的普遍表达式：lltllillillkYelkPelikfll20220020sin)12(4)(sin124)()(cos)1)(12(21)(3.光学定理按照上面的第一式，且1)1(lP，有02sin)12(1)0(Imlllkf与式lltlk202sin)12(4比较，得)0(Im4fkt上式就是著名的光学定理。它给出向前散射振幅)0(f与总截面的关系。十、Lippman-Schwinger方程由Green函数的定义式)(),()(22rrrrGk可知，波函数6)()(),(d2)(32rrVrrGrr是方程)()(2)()(222rrVrk的一个解。则散射问题归结为求解下列积分方程)()()()(),(d2)(sc32rrrrVrrGreririk此方程就是Lippman-Schwinger方程。十一、散射问题的Born一级近似利用留数定理，可以求得rrerrGrrik4)(从而有解)()(d2)(32rrVrrererrrikrik这就是方程)()(2)()(222rrVrk满足边界条件referikrrikr),()(的散射问题的Born一级近似。当r时，)(d2)()(32scrVerrerrkkiikrrf)(d2),(32rVerfriq可选择q方向为z轴方向，采用球坐标系，从而得出702dsin)(2)(rrqrVrqf而散射截面为02422dsin)(4)()(rrqrVrqf比较Born近似法和分波法，一般说来,Born近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射，因为此时只需考虑l较小的那些分波。十二、全同粒子的散射（1）无自旋的不同粒子之间的碰撞微分截面22)()()(ff（2）无自旋的两个全同粒子之间的碰撞微分截面)()()()()()()()()(**222ffffffff（3）自旋为1/2的全同粒子之间的碰撞态对于态对于1,)()()(0,)()()(2120SffSff若入射电子束与靶电子均未极化，即自旋方向是无规分布的。统计说来，有1/4几率处于单态，3/4几率处于三重态。因此微分截面为)()()()(21)()()()(43)()(41)(43)(41)(**222210ffffffffff8《量子力学II》教案复习思考题、作业题：全面复习下次课预习要点准备考试实施情况及教学效果分析学生复习课听课认真，所到人数很齐，效果良好学院审核意见学院负责人签字年月日