《量子力学》试卷一

一、判断题（共10分，每题2分）1．在量子力学中，粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。()2．若，则的本征函数必定也是的本征函数。()3．力学量算符，，则和必相互对易。()4．若力学量算符不显含时间，则力学量必为运动恒量。()5．在任意态中，力学量x和必定满足下述关系式。。()得分评卷人二、填充题（共10分，每题2分）1．德布罗意关系式是和。2．称等固有性质的微观粒子为全同粒子。2．质量，电荷，自旋；完全相同3．下列算符①；②；③；④；⑤是线性算符的是。4．有一势场为，如图所示，当粒子处于束缚态时，E的取值范围为。4．20uE5．已知体系的哈密顿算符为，下列算符①x；②y；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧0abxU(x)与对易的有。得分评卷人三、说明题（共8分）试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。得分评卷人四、证明题（共24分，每题8分）1．设、、…、、…是厄密算符的本征函数，它们所属的本征值、、…、、…都不相等，试证当时，有。2．已知，试证：。3．设为算符属于本征值的本征函数，且，，试证是算符属于本征值的本征函数。得分评卷人五、计算题（共48分，每题12分）1．一粒子在一维势场中运动，其中，求束缚态能级所满足的方程。2．设氢原子处于状态，求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值及其相应的几率，并求这些力学量的平均值。3．转动惯量为I，电矩为的平面转子处在均匀电场中，电场是在转子运动的平面上，用微扰法求转子能量至二级修正。4．设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是，如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。《量子力学》试卷答案一一、判断题每小题2分，共10分。（在每小题后的括号内对的打“√”，错的打“×”）1．×2．×3．×4．×5．√二、填空题每小题2分，共10分1．hE，knhP2．质量，电荷，自旋；完全相同3．（1），（3），（5）4．20uE5．（3），（4），（5）三、说明题每小题8分，共8分粒子：共同点：颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体不同点：经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动；（4分）波：共同点：遵循波动规律，具有相干迭加性不同点：经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。（4分）四、证明题每小题8分，共24分1．kkkFˆ，lllFˆ，ddFlkllk**ˆ，（3分）∵ddFdFlkklklk***)ˆ(ˆ，（3分）∴当kl时，0*dlk。（2分）2．]ˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[22yxLiLLLL（4分）]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[22yxLLiLL=0。（4分）3．BBABBBABkˆ)1(ˆ)ˆˆ1(ˆˆˆˆˆ。（6分）∴Bˆ是kˆ属于本征值1的本征函数。（2分）五、计算题每小题12分，共48分1．∵是束缚态，∴00uE，（1）分区列方程axEudxdaxaEdxdaxEudxdIIIIIIIIIIIIIIII02222220222222（4分）0)(20222IIEudxd，02222IIIIEdxd，0)(20222IIIIIIEudxd；（2）求通解令)(2022Eu，222Ek，∴xxIeAeA21，)sin(kxBII，xxIIIeCeC21；（3）利用波函数的标准条件①有限性0uuIIIIII-aax当x时，0I，∴02A，∴xIeA1，当x时，0III，∴01C，∴xIIIeC2；（4分）②连续性axIIaxIaxIIaxIdxddxd∴)2()cos()1()sin(11kaBkeAkaBeAaaaxIIIaxIIaxIIIaxIIdxddxd∴)4()cos()3()sin(22aaeCkaBkeCkaB（1）÷（2）得：kkatg)(（5）（3）÷（4）得：kkatg)(（6）由（5）得：ktgnka11，,1,01n由（6）得：ktgnka12，,1,02n两式相加：22)(21mnn,,1,021nnm实际上只有两组独立的解，分别对应：①当0时，ktgka；②当2时，kctgka；这就是束缚态能级所满足的方程。（4分）2．对于氢原子定态波函数),()(lmnlnlmYrR，有nlmnnlmzmllELLH22)1(ˆˆˆ，其中0222aneEsn，（2分）题中给定的),,(r已按nlm展开了，且有1211C，3121C，显然421212211CC，即),,(r末归一化。经归一化412211C，432121C（1分）∴当氢原子处于状态),,(r时，能量的可能取值为0228aeEs，相应几率为1，平均值为0228aeEEs，（3分）角动量平方的可能取值为222L，相应几率为1，平均值为222L，（3分）角动量z分量的可能取值为zL，，相应几率为41，43，平均值为24341zL。（3分）3．在均匀电场中，平面转子体系的哈密顿算符为HHDILHzˆˆcos2ˆˆ02，其中cosˆDH，ILHz2ˆˆ20，0ˆH的本征值和本征函数分别为ImEm222)0(，imme21)0(，,1,0m，（3分）∵Hˆ不显含时间，属于定态微扰，20)0()*0(20)0()*0()(2)cos(deeDdDHniimnmmn20)0(1)*0(20)0(1)*0(2ddDnmnm1,01,2221,1,nmnmDDDnmnm，（4分）由上式可见，对于能级)0(mE的2个简并态)0(m和)0(m，H'的所有矩阵元均为0，即0,,,mmmmmmHHH，∴本题可按非简并态微扰论处理，精确到二级修正的能量值为（2分）)0()0(2)0(nmmnnmmmEEHHEEImImDImImDIm2)1(242)1(24222222222222222222222)14(2mIDIm。（3分）4．这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，)()()()(21),(212121rrrrrrmnnms，)()()()(21),(212121rrrrrrmnnmA，（2分）其中)(rm、)(rn分别为谐振子第m、n个能量本征函数。（1）当m=n时，由这两电子组成的体系波函数为),()()(2121zzAmmAssrr；（3分）（2）当nm时，由这两电子组成的体系波函数为),(),(2121zzAsAssrr单重态),(),(),(),(21)3(21)2(21)1(21zzszzszzsAAssssssrr三重态（5分）其中)()(221121)1(zzsss，)()(221121)2(zzsss，)()()()(21221121221121)3(zzzzsssss，)()()()(21221121221121zzzzAssss。（2分）