《量子力学》试卷二

一、判断题（共10分，每题2分）1．对于定态而言，几率密度不随时间变化。()2．若0]ˆ,ˆ[GF，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。()3．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化：1|),(|2dtr。()4．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。()5．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。()得分评卷人二、填充题（共10分，每题2分）1．根据波函数的统计解释，波函数在空间中某一点的强度和成比例。2．厄密算符在其自身表象中是一个矩阵，且为相应的本征值。3．第一玻尔轨道半径0a。4．在非简并定态微扰的情况下，微扰的引入使能级发生，在简并定态微扰的情况下，微扰的引入使能级发生。5．能量为100电子伏特的自由电子的德布罗意波长为0A。得分评卷人三、说明题（共8分）试说明算符Fˆ和它所表示的力学量F之间的关系。得分评卷人四、证明题（共24分，每题8分）1．若厄密算符Fˆ和Gˆ相互对易，且Fˆ、Gˆ的本征值是非简并的，试证这两个算符有组成完全系的共同本征函数。2．已知体系的哈密顿算符)(2ˆˆ2xupHx，试证：2]],ˆ[,[xHx。3．试证算符xdxdiFˆ的本征函数为)2(2)(xxiAex，其中A为常数，为相应的本征值。得分评卷人五、计算题（共48分，每题12分）1．粒子在一维无限深势阱axaxxxU00,0)(中运动，求其定态能量和定态波函数。2．一约束在平面上沿一定半径绕z轴（垂直平面）转动的平面转子（转动惯量为I）处于2sinA态中，试确定在此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几率，并求平均值。3．设哈密顿量在能量表象中的矩阵形式为aEbbaEH0201，其中a、b为小的实数，且0201EE，求（1）用微扰公式求能量至二级修正；（2）直接求能量，并和（1）所得结果比较。[提示：当c1时，21122cc]4．考虑由三个玻色子组成的全同粒子体系，限定单粒子状态只能是i、j和k，试写出体系的所有可能状态波函数。《量子力学》试卷答案二一、判断题每小题2分，共10分。（在每小题后的括号内对的打“√”，错的打“×”）1．√2．√3．×4．√5．×二、填空题每小题2分，共10分1．在该点找到粒子的几率2．对角，其对角元3．22se（或0.50A）4．移动，分裂5．1.2250A三、说明题每小题8分，共8分①若体系处在Fˆ的本征态n中，测量力学量F，有确定值，即Fˆ在n态中的本征值n（nnnFˆ）；（4分）②若体系处在任意态)(x中，测量力学量F，有好多种可能值，每次测得的结果不能预先确定，但只能是Fˆ的本征值中的一个，而且测得结果为n的几率为2||nC。[nnnCx)(，波函数已归一化]（4分）四、证明题每小题8分，共24分1．设nnnFˆ，∵0]ˆ,ˆ[GF，∴nnnnGFGGFˆˆˆˆˆ，（4分）∵n不简并，∴nGˆ与n最多只能相差一个常数因子，∴nnnGˆ，（2分）∴n也是Gˆ的本征函数，而n是厄密算符Fˆ的本征函数系，∴n组成完全系。（2分）2．]),(ˆ[],ˆ[xxupxHx22]),([],2ˆ[2xxuxpx（3分）xxxxpxpxppˆ],ˆ[21],ˆ[2ˆxpiˆ，（3分）∴]ˆ,[]ˆ,[]],ˆ[,[xxpxipixxHx2。（2分）3．设Fˆ的本征函数为)(x，相应的本征值为，则)()()ˆ(xxxP（4分）)()(xxdxdi，dxxid)(，∴)2(2)(xxiAex，（4分）对所有的实数值，)(x均满足标准条件。五、计算题每小题12分，共48分1．0E0I，x0；0III，xa；IIIIEdxd2222，ax0；（4分）令222Ek，则kxBkxAIIsincos，∵0||00xIxII，∴A=0，kxBIIsin，0||axIIIaxII，0sinkaB，∵0B，∴0sinka，ank，n=1，2，…（3分）由归一化条件1||02aIIdx，求得aB2，（2分）∴所求的定态能量和定态波函数为22222anEn，n=1，2，…axxanaaxxn0),sin(2,0,0。（3分）2．)cos1(sin22AA)(4222iieeAA)(4222220AA，由1||2nnC，求得34A，∴320C，6122CC，（6分）∴能量的可能取值为00E，IE222，相应几率为,3231，平均值为IE322；（3分）角动量的可能取值为0zL，2，2，相应几率为,3261，61，平均值为02znzLCL。（3分）3．（1）abbaEEH020100，（2分）0201EE，属于非简并情形，02012011EEbaEE，（2分）01022022EEbaEE；（2分）（2）00201aEbbaE，24)(222020102011bEEaEE，24)(222020102012bEEaEE，（4分）当c1时，取21122cc，则2])(21)[(2202012020102011EEbEEaEE0201201EEbaE1E；（1分）2])(21)[(2202012020102012EEbEEaEE0201202EEbaE2E。（1分）4．共有10种可能态，设),(NNNsrq，（2分）)()()(321)1(qqqiiis；（1分）)()()(321)2(qqqjjjs；（1分）)()()(321)3(qqqkkks；（1分）)]()()()()()()()()([31321321321)4(qqqqqqqqqiijijijiis；（1分）)]()()()()()()()()([31321321321)5(qqqqqqqqqiikikikiis；（1分）)]()()()()()()()()([31321321321)6(qqqqqqqqqjjijijijjs；（1分）)]()()()()()()()()([31321321321)7(qqqqqqqqqjjkjkjkjjs；（1分）)]()()()()()()()()([31321321321)8(qqqqqqqqqkkikikikks；（1分）)]()()()()()()()()([31321321321)9(qqqqqqqqqkkjkjkjkks；（1分）)()()()()()()()()([61321321321)10(qqqqqqqqqkijjkikjis)]()()()()()()()()(321321321qqqqqqqqqijkjikikj。（1分）