《随机信号基础》练习题

1《随机信号分析》练习题一、概念题1．叙述随机试验的三个条件。2．写出事件A的概率P(A)所满足的三个条件。3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？4．两个事件独立的充要条件。5．两个随机变量独立的充要条件。6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。8．简述一维随机变量分布函数F（x）的性质。9．已知连续型随机变量X的分布特性，分别用分布函数)(xFX和概率密度函数)(xfX表示概率}{21xXxP。10．随机变量X的特征函数)(XC是如何定义的？写出由)(XC计算k阶矩)(kXE的公式。11．设X1,X2,…,Xn为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C1(μ),C2(μ),…,Cn(μ)，设niiXY1，则CY(μ)=？12．对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13．写出随机过程X(t)的n维分布函数定义式。14．简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。15．平稳过程与各态历经过程有何关系？16．设平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17．已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X和Y，若XY，说明X(t)与Y(t)的起伏程度那个较大？18．两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19．平稳随机过程)(tX的功率谱密度)(XG的物理意义是什么？)(XG与物理谱密度有何关系？20．白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？21．简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。22．何为线性系统？23．写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。24．写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。25．对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？2二、计算题1．设随机变量(X,Y)的分布律为：XY-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8(1)填写阴影处的值；(2)分别画出函数(),()XYFxFy；(3)验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。2．己知随机变量X的分布函数为),4(,1]4,0(,4]0,(,0)(xxxxxFX求X的数学期望。3．设随机变量X具有概率密度elsexxxxxf,010,101,1)(求X的方差D(X)。4．已知设一连续性随机变量X在区间(-1,3)上服从均匀分布(1)求X的概率密度函数；(2)画出X的分布函数；(3)求X的取值落在区间(-1,0.5)上的概率。5．以下函数是某连续型随机变量的概率分布函数，确定其中的常数a并求其概率密度函数。0,0,0)(2xeaxxFx6．已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为求：(1)常数A；(2)分布函数FXY(x,y)；其它,00,0,),()2(yxAeyxfyx3(3)P{X+Y2}；(4)P{X≤Y}。7．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为212(,)0yfxy01yx其他求E(X)，E(Y)，E(XY)，22()EXY。8．随机变量X的数学期望为3，方差为2，定义新的随机变量Y=-6X+22，问随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？9．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为elseyxxyyxfXY,030,20,9),(问X与Y是否正交、不相关、独立？为什么？10．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为elseyxeyxfyxXY,00,0,),()(求边缘分布)(),(yfxfYX。11．已知二维随机变量(X1,X2)的概率密度函数为),(21xxfX，求Y=X1+X2的概率密度函数)(yfY。12．设X为二维随机向量，其分量X1和X2互为独立的随机变量，且分别具有概率密度)(11xfX与)(22xfX。令Y为新的二维随机向量，其分量由下列变换定义Y1=X1，Y2=X1X2，试求(1)(Y1,Y2)的联合概率密度；(2)Y2的边缘概率密度。13.设电压sinVA，其中A是已知的正常数，相角是一个随机变量，在区间(,)22服从均匀分布，试求电压V的概率密度。14．一正弦波随机过程为tAtX0cos)(，其中A是均匀分布在(0,1)内的随机变量(1)写出随机变量A的概率密度函数；(2)画出A分别为0.5和1时的样本函数的图形；(3)求000,43,4,0t时)(tX的一维概率密度；4(4)求02t时)(tX的一维概率密度。15．利用重复抛币试验定义一个随机过程出现反面出现正面,2,cos)(tttX“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1)求)(tX的一维分布函数)21,(xFX和)1,(xFX；(2)求)(tX的二维分布函数)1,21;,(21xxFX。16．设随机振幅信号tVtX0sin)(，其中0是常数，随机变量V是标准正态随机变量，求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。17．设平稳过程)(tX和)(tY的自协方差函数分别为aaKeKYaXsin)(,21)(||2式中a为正常数，求它们的相关系数和相关时间，并判断哪个过程的起伏速度快。18．给定一个随机过程)(tX和任一实数a，定义另一个随机过程atXatXtY)(,0)(,1)(已知)(tX的一维分布函数和二维分布函数，求)(tY的数学期望和自相关函数。19．已知某随机电报信号X(t)的相关函数为)1(41)(||2eRX，求其功率谱密度。20．随机过程),sin()(0tatX为均匀分布于2~0间的随机初始相位，求)(tX的功率谱密度。21．某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生tetXtetXetXcos),(,sin),(,1),(321(1)计算数学期望)(tmX和自相关函数),(21ttRX；(2)该随机过程是否平稳？22.平稳随机过程X(t)均值E[X(t)]=3，自相关函数||29)(eRX，求随机变量20)(dttXY的均值和方差。523．已知随机过程)(tX的功率谱密度为9104)(242XG，求其相关函数和均方值。24．设复随机过程为：其中ω为正常数，V为实随机变量。求复过程Z(t)的自相关函数。25．已知RC电路的冲激响应为)(2)(2tUetht，输入平稳过程)(tX的自相关函数为||3)(eRX，求输出过程)(tY的自相关函数)(YR。26.设RC低通滤波器的传递函数为1()1HjRC，求当输入均值为0，功率谱密度为0/2N的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。27.设随机过程()2cos(2)tt，式中，是一个离散随机变量，且(0)1/2p，(/2)1/2p；试求(1)E及(0,1)R。28．设有限时间积分器的单位冲激响应)5.0()()(tututh，它的输入是功率谱密度为zHV/102的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差和输入输出互相关函数。29．设线性系统)(H的输入为平稳过程)(tX，其功率谱密度为)(XG，输出为)(tY。求误差过程)()()(tXtYtE的功率谱密度)(EG。30．已知随机过程)(tX的功率谱密度)(XG满足0)(XG，B||取常数B0，构造一个新的随机过程ttXttXtY00sin)(ˆcos)()(.求)(tY的功率谱密度)(YG，并画出)(XG与)(YG的关系。31．设正态过程tVtUtX00sincos)(，其中0为常数，VU,是两个相互独立的正态随机变量。已知222][][,0][][VEUEVEUE，求)(tX的一维和二维概率密度函数。32．设X(t)为零均值、窄带高斯随机信号，其方差为2，求X(t)的包络和相位的一维概率密度函数。三、证明题1.证明][][][22XEXDXE。2.设有随机过程)(tX和)(tY，证明)()(),(),(212121tmtmttRttKYXXYXY。tjeVtZ0)(63.试证明宽平稳过程的方差是常数。4.设可微平稳随机过程)(tX的功率谱密度为)(XG，证明该过程的导数过程)(tY的功率谱密度为)()(2XYGG。5.随机过程)(tX的导数过程为)(tY，证明：22121),(),(tttRttRXXY。6.已知随机过程00()cossinXtAtBt，式中0为常数，互不相关的随机变量A和B具有不同的概率密度，但有相同的方差，均值都为零。证明：X(t)是宽平稳而不是严平稳随机过程。7.随机过程定义为)()(tftX，其中)(tf是具有周期T的周期波形，随机变量服从区间(0,T)上的均匀分布。证明)(tX是宽平稳过程。（注：若)(tf是周期为T的周期函数，则有TtTtdttfdttf0)()(00）8.设随机过程)cos()(tatX，式中a是常数，,是两个互相独立的随机变量，具有概率密度)()(ff，服从在)2,0[上的均匀分布。试证：)(tX的功率谱密度为)()(2faSX。9.一个线性系统当输入为)(tX时，相应的输出为)(tY。证明若该系统的输入为)(tX的希尔伯特变换)(ˆtX，则相应的输出为)(tY的希尔伯特变换)(ˆtY。10.设平稳随机过程)(tX的希尔伯特变换为)(ˆtX，它们的自相关函数分别为)(XR和)(ˆXR。证明：)()(ˆXXRR。11.已知某系统频率响应为)(2)(UH，证明当输入信号为)(tX时，相应的输出是)(tX的解析信号。