《随机信号处理》重点题目题型及相关知识点简介

第一组上台讲解题目（第2、7题）2.复随机过程0()()jtZte，式中0为常数，是在(0,2)上均匀分布的随机变量。求：(1)[()()]EZtZt和[()()]EZtZt；(2)信号的功率谱。解：(1)0000[()][]201[()()]212jtjtjjEZtZteedede0000[()][]2[(2)2]02(2)201[()()]212120jtjtjtjtjEZtZteededeed(2)00()[()]{[()()]}[]2()ZZjSFRFEZtZtFe备注:主要考察第二章P37,功率谱计算,第一步求期望用数学积分方法,得到[()()]EZtZt即输出的自相关,对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱。7.一零均值MA(2)过程满足Yule-Walker方程：试求MA参数：0b，1b，2b解：由于对于零均值MA(q)过程而言，均值为0，令方差为1，其自相关函数220(0)qxkkrb222012011202321bbbbbbbbb220(0)qxkkrb（公式：3.2.5）2,0()0,qkklklxbblqrllq()(),1xxrlrlql（公式：3.2.6）则可得：22201011210(0)(1)()qxqqxqxbbbrbbbbbbrbbrq故由题意知，MA(2)过程的自相关函数为(0)3,(1)(1)2,(2)(2)12xxxxxrrrrrk由此不难求得MA(2)过程的功率谱22122()()232kxxkszrkzzzzz（公式：2.4.14）其因式分解为：122()(1)(1)xszzzzz根据功率谱分解定理2**()()(1/)xszQzQZ（公式：2.5.2a），比较得传输函数：12()1Qzzz即0121,1,1bbb备注：本题主要考察MA模型满足Yule-Walker方程的模型参数求解，根据P54页3.2.6求得自相关函数值，由P38页2.4.14求得复功率谱密度，因式分解，与P39页2.5.2a比较得出结果。第二组上台讲解题目（第1、2、5、7题）1.某离散时间因果LTI系统，当输入)1()31(41)()31(x(n)1nnnn时，输出)()21()(ynnn（1）确定系统的函数H(Z)（2）求系统单位序列相应h（n）（3）计算系统的频率特性H（ejθ）（4）写出系统的差分方程解：（1）)41)(21()31(31413121)()()(1ZZZZZZZZZZZZXZYZH|Z|21(2)41972192)41)(21(31)(ZZZZZZZH|Z|21)()41(97)()21(92)(hnnnnn(3)因为H（z）收敛域为|Z|21，包含单位圆,所以H（ejθ）存在:41972192|)()(jjjjeZjeeeeZHeHj（4）21121281-41131-181-4131)()()(ZZZZZZZZXZYZH==121)(31)()(81)(41)(ZZXZXzzYzzYzY)1(31)()2(81)1(41)(nxnxnynyny备注:考察第一章数字信号基础,比较完整。2.一个方差为1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为:，求该系统的传递函数，差分方程。解：由给定信号的功率谱，得（公式：2.5.8）其中，，，因此与之对应的最小相位系统为：（公式：2.5.7）系统的传递函数为：差分方程为：（公式：2.5.9）备注：参考P41页例2.5.1。题目会有改动，谱分解+一个系统21()()()()hnxnhnyn再对输出求功率谱，()hn：P39页，新息滤波器去噪。1()hn：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。再根据P38页2.4.22式对输出求功率谱。5.有一个自相关序列为()0.8lsrl的信号s(n)，被均值为零、噪声方差为1的加性白噪声v(n)干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(n)=s(n)+v(n)中尽可能恢复s(n)，求出一阶FIR滤波器的系数和最小均方误差。解：由白噪声与信号不相关，因此有()()()0.8()lxsvrlrlrll并且有()[()()]()0.8lxdsrlExnsnlrl对于一阶FIR维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为(0)(1)20.8(1)(0)0.82xxxxxrrRrr（公式：5.3.12）(0)1(1)0.8xdxdxdrrr（公式：5.3.11）解Wiener-Hopf方程，得10.4350.238optxxdhRr（公式：5.3.13）维纳滤波器的最小均方误差：2min0.435110.810.65240.37460.238TdxdoptJrh（公式：5.2.16）备注：典型例题，本题出自第五章。考察最优线性滤波器设计方法。参考P97页例5.3.1。根据P97页5.3.12,5.3.13。计算上有点麻烦，复习数学逆阵算法。可能改动：需求解自相关序列，白噪声方差。系统评估：从均分误差和信噪比分析。7.已知信号的4个样值为()xn（2,4,1,3）,试用自相关法估计AR(1)模型参数。解：AR(1)的参数(1)a就是一阶预测误差滤波器的预测系数。一阶预测误差滤波器的结构如图所示。一阶预测误差滤波器滤波器的输出是预测误差()()*()enxnan，其中()xn的长度是N=4,()an的长度是2，所以()en的长度是4+2-1=5(n=0,1,2,3,4)，有10()()*()()()menxnanamxnm=(0)()(1)(1)axnaxn=()(1)(1)xnaxn(0)(0)(1)(1)exxa(1)(1)(0)(1)exxa(2)(2)(1)(1)exxa(3)(3)(2)(1)exxa(4)(4)(3)(1)exxa上面各式中，(0),(1),(2),(3)2,4,1,3xxxx为已知数据，(1)x和(4)x是未知数据。(1)a的选择应使预测误差功率达最小。自相关法：自相关法认为假定已知数据段之外的数据为0，预测误差功率为：()n=420()nen=22222(0)(1)(2)(3)(4)eeeee=222222[42(1)][14(1)][3(1)][3(1)]aaaa=23030(1)30(1)aa令()0(1)na，得3060(1)0a，所以(1)0.5a。备注：主要考察第5，7章。线性预测误差滤波器+AR模型+自相关法（P137页式7.2.2）。改动：将题中使用到的自相关法换成协方差法（P139页）第三组上台讲解题目（第2、6题）2.已知随机信号0XtsintA，0为常数，是[0,2)的均匀分布随机变量，讨论当A满足系列条件时，Xt的广义平稳性。（1）A为常数；（2）A为时间常数AAt；解：（1）当A为常数时：①20001Xtsintsint02EEAAd；（公式：2.2.1）②21201022012010220,sintsintcoscostt22cos2xRttEAAEttA（公式：2.2.2）其中12tt，故此时Xt是广义平稳的；（广义平稳=宽平稳，指随机过程的1阶矩和2阶矩与起始参考时间无关）（2）当AAt为时间函数时：①20001Xtsintsint02EEAtAtd；②12120102120120102120,sintsintcoscostt22cos2xRttEAtAtAtAtEttAtAt其中12tt，此时Xt不是广义平稳的。备注：本题出自第二章《随机信号分析基础》，主要考查的是该章第二节（随机过程）中的随机信号平稳性问题。其中用到的公式（2.2.1/2）在书上P30页。其中用到的概念主要来自式2.2.4以及P31页中的内容。判断平稳性的两个关键性指标是：①信号均值等于常数，与时间无关；②信号的自相关主要取决于时间间隔，与长短和起始位置无关。6.用下列的数据矩阵和期望响应信号解LS问题：已知111221313101x和1243y。解：首先计算正则方程的系数矩阵和互相关向量：15813ˆ86613612R20ˆ918d（公式：6.2.12/13）接着对ˆR进行RLDL分解（参考例6.4.1）。利用MATLAB函数[L,D]=ldl(R)，可以得到：1000.5333100.86670.53851L150001.7330000.2308D由LDkr式（公式：6.4.26）可得解向量k和LSE为：3.01.51.0k1.5lsEw=？（公式：6.4.25）备注：本题出自第六章《最小二乘滤波和预测》，主要考查的是该章第四节（最小二乘线性预测）的相关问题。其中用到的公式分布在书上P117-P130页。本题参考的是P131页的例6.4.2题。本题的主要难点在于，①求解正则方程、②对系数矩阵进行LDL分解。其中正则方程的式6.2.14在P117页，三角分解的例题6.4.1在P130页。第四组上台讲解题目（第2、3题）2.一个广义平稳随机信号(n)x的自相关函数|k|0.8xrk，该信号通过一个系统函数为11(z)10.9Hz的LTI系统，其输出为(n)y。试求：（1）输入随机信号(n)x的功率谱(w)xS和复功率谱(z)xS。（2）输出随机信号(n)y的功率谱(z)yS解：（1）①功率谱：（公式：2.4.13）(w)xS=(e)(k)ejwjwkxxkSr=|k|0.8jwkke000.80.8kjwkkjwkkkee000.80.8kjwkkjwkkkee1110.810.8jwjwee②复功率谱：（公式：2.4.14）(z)xs=(k)zkxkr=|k|0.8zkk11110.810.8zz(2)功率谱：（公式：2.4.18）(z)yS=1(z)H*()S(z)*xHZ=1110.9z×110.9z×111()10.810.8zz备注：本题出自第二章《随机信号分析基础》，主要考查的是关于功率谱的计算问题。其中用到的公式（2.4.13/14/18）都在书上P38页。3.一个AR（2）过程满足如下的差分方差：𝒙(𝒏)=𝒙(𝒏−𝟏)−𝟎.𝟓𝒙(𝒏−𝟐)+𝝎(𝒏)。其中，𝝎(𝒏)是一个均值为0，方差为0.5的白噪声。（1）写出该过程的Yule-Walker方程（2）求解自相关函数值𝒓𝒙(𝟏)和𝒓𝒙(𝟐)（3）求出𝒙(𝒏)的方差解：（1）由于𝑟𝑥(1)=𝑟𝑥(−1)，𝑟𝑥(2)=𝑟𝑥(−2)