《风险理论》第一章效用理论与保险习题课

第一章效用理论与保险【知识要点】1、边际效用递减原理与最大期望效用原理边际效用递减原理：个人对财富需求的满足程度是由他的效用值来衡量的，他对财富的满足程度随着财富的增加而增加，但增加的速度却在逐渐减小，这就是经济学中所述的边际效用递减原理。最大期望效用原理：在具有风险和不确定的情况下，个人行为的动机和准则是为了获得最大期望效用值。2、Jensen不等式如果一个决策人是一个风险厌恶者，其效用函数ux是一个凹函数，即满足',0uu，对于随机损失X，则有如下不等式：EuXuEX这意味着，决策人认为确定性损失的效用值不低于随机损失。3、Arrow-Prant指数为了比较决策者之间风险态度的差异，引入了Arrow-Prant指数，定义如下：'aRxuu为绝对风险指数（风险厌恶系数）；'rRxxuu为相对风险指数。风险态度及Arrow-Prant指数的关系风险态度效用函数的凸凹性Arrow-Prant指数厌恶0u凹曲线0aRx偏好0u凸曲线0aRx中性0u直线0aRx4、效用原理与保险定价保险人承保必须满足如下不等式：EuwPXuw其中w是保险人的初始资产，P是收取的保费，X是承保损失的随机变量，此式的含义就是承保后财产的效用期望值应不低于承保前财富的效用值。对于被保险人而言，有下面的不等式：uwPEuwX其中w是被保险人的财富，P是缴纳的保费，X是其面临的损失随机变量，此式表明被保险人购买保险后财富的效用值应大于购买前财富的期望值。当收取的保费P介于承保人必须收取的最低保费P和被保险人愿意支付的最高保费P之间时，保险合同才可能成立。5、停止损失（再）保险在这种保险合同中，保险人只赔付超过一定限额的损失，即X0,,ddIXXdXd，其中免赔额由下式确定：ddPEIxxdfxdx停止损失（再）保险不仅使其期望效用最大，而且使自留风险的方差最小。6、例题例1一个保守的投资者具有如下特征：（1）他的效用函数为0.025,0uxxx；（2）他有1000个单位的财富。他用375个单位购买彩票，并以概率得到50000个单位，以概率（1-）一无所获。问：当概率为何值时，他购买彩票和不购买彩票相当？(A)0.09(B)0.07(C)0.06(D)0.10(E)0.01解：设收益随机变量X的概率分布列为X050000f1-投资者购买彩票后的期望效用为0.0250.02510003756256250062550000500006251506251.17460.1364EuwPXEuXEuXuPXuPX他不购买彩票的效用为0.025100010001.1885u。按题意，令EuwPXuw，即1.17460.13641.1885，解得0.1019，故答案应选（D）。例2某投资者拥有财产1个单位，他的效用函数为,0uxxx他有两个选择：（1）投资于一个项目，预期5年后财产可能变成X0125f0.250.50.150.1（2）将钱存入银行，年利率为。问：年利率为为多少时，上述两种选择的效用等同？解：根据期望效用原理，当51EuXu时二者等同。00.2510.550.15100.11.1516EuX，5511u，511.1516552211.15161.151610.0581因此，当年利率5.81%时，两个选择等价。例3某人具有400个单位的财富，他的效用函数是,0uxxx他面临的损失随机变量X的分布是X050100f131313他用30个单位的财富购买了具有免赔额的保单，计算在此情况下他的期望效用可能达到的最大值。（A）18.3(B)18.6(C)18.7(D)19.6(E)19.8解：因为0,,dXdIXXdXd，当050d时，1125010050333dEIXddd令25030303dEIXPdd；当50100d时，111001003010333dEIXdd，这与免赔额在50100d间矛盾，故免赔额30d个单位。所以自留风险的随机变量为：30,3030,30XXYXIXX103003112303050100333PYPXPXPYPXPXPX所求期望效用为40030370123700370303318.7dEuwPXIXEuwPYEYEY故答案应选（C）。例4某人初始财富为50，他的效用函数为lnuxx，面临损失X的分布为00.5,400.5PXPX。保险人初始资本为100，效用函数为0.1e,0xxx。保单规定，在承保的损失发生时，赔偿投保人20。问这张保单是否有可能成交？解：作为投保人，可以有两个选择（投保或不投保）。如果愿意支付保费P进行投保，则投保后的期望效用为ln(50)0.5ln5040200.50.5ln(50)30PPPP，若不投保，期望效用为ln50ln5000.5ln50400.50.5ln500EX，由效用均衡方程得250305008010000PPPP，由此解得8064004000804915.505122P，上式求得的另一个值64.550P超过原有财富值，被舍弃。对于保险人，承保前后的期望效用应该相等，即0.110000.1100200.11001080.11040.150.10.50.50.51.9043104.5400104.194514.3377PPPPPeeeeeeeeeP如保费介于区间1,14.3377,15.5051PP内，即可成交。例5设某人拥有10元财产，面临随机损失X服从0,10区间上的均匀分布，他的效用函数为uxx。他愿意支付1.8元去买限额损失保险*dIX，试确定免赔额*d，并确定其最大期望效用。解：首先由公式10ddPEIXxdfxdx确定*d，即1022101.80.10.050.0510ddxddxxdd，由此解得免赔额为*4d。最大期望效用为：444100430433101.80.18.20.18.2420.18.20.164.2320.18.24.20.64.2320.123.48128.60741.229630.98801.22962.2176EuwPXIxEuXIxxdxdxx例6一个投资者具有6个单位的资产，他的效用函数为,0211,22xxuxxx这个决策者面临损失的随机变量X的分布函数为0,00.5,020.6,20.60.12,261.0,6xxFxxxxx当他把这笔财富全额投保时，他应付多少保费，才能使他的期望效用达到最大？(B)1.8;(B)2.0;(C)2.4;(D)3.8;(E)3.6解：X的概率密度函数为：0.5,00.1,20.1,26xfxxx投保后的期望效用为6246246600622664110.510.1160.160.122220.30.50.23EuwXEuXufufuxfxdxxdxxdx投保后财富减少为6,4661,42PPuwPuPPP他应支付的保费由效用均衡方程66EuXuP确定：当4P时，令633PP，这与4P矛盾，舍弃。当4P时，令613242PP，合理。故投资人应支付的保费为2P，答案为（B）。第一次作业1、假设一保险人使用参数为的指数效用函数，对于风险X，最小保费应为多少？解：把xUxe代入均衡方程UWEUWPX，得WPXWWPXWPXeEeEeeeeeEe从而1PXeEe，即PXeEe，取对数得lnXPEe，因此有11lnlnXXPEeM。2、设随机变量服从参数为的指数分布，即,0,0xfxex，证明其矩母函数为,XMttt。证明：根据矩母函数定义，0txtxXMtEeefxdx，将密度函数xfxe代入上式，则得到000txtxtxxXMteedxedxet当t时，则有001txXMtettt。3、设随机变量服从参数为的泊松分布，即,0,1,2...,0!kPXkekk，证明其矩母函数为1teXMte。证明：根据定义0txtkXkMtEeePXk将密度函数代入上式，得0010!!!ttktkktkXkkkteekeMteeekkeeeeek。