《高数(同济六版)》第七章微分方程--参考答案

《高等数学(同济6版)》练习题参考答案--第七章微分方程1第七章微分方程—练习题参考答案一、填空题1.三阶；2.023yyy；3.1xyy；4.xe22ln；5.xxecec221；6.错误、错误、错误、正确.二、选择题1-5:ACDCB;6-8:CCB;三、计算与应用题1、（1）解：变量分离得，1122xxdxyydy，两边积分得，cxyln21)1ln(21)1ln(2122，从而方程通解为)1(122xcy.（2）解：整理得，xyxydxdyln，可见该方程是齐次方程，令uxy，即xuy，则dxduxudxdy，代入方程得，uudxduxuln，变量分离得，xdxuudu)1(ln，积分得，cxulnln)1ln(ln，所以原方程的通解为cxxy1ln，或写为1cxxey.（3）解：整理得，xeyxy1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为)(1)(1)(11cexexcdxxexcdxeeeyxxxdxxxdxx.（4）解：整理得，xyxxdxdy1ln1，这是一阶线性方程，利用公式得通解为)2ln(ln1)ln(ln1)1(2ln1ln1cxxcdxxxxcdxexeydxxxdxxx，代入初始条件1exy得21c，从而所求特解为)ln1(ln21xxy.（5）解：将方程两边逐次积分得，12arctan11cxdxxy，2121)1ln(21arctan)(arctancxcxxxdxcxy，《高等数学(同济6版)》练习题参考答案--第七章微分方程2即原方程通解为212)1ln(21arctancxcxxxy.（6）解：方程中不显含未知函数y，所以可令)(xpy，则)(xpy，代入方程得，xpp，这是一阶线性方程，其通解为xxxxxxdxdxecxcexeecdxexecdxexep111111)()()(，从而xecxy11，两边积分得原方程通解为21221cecxxyx.2、解：将xduufxxf0)()(两边对x求导并整理得，1)()(xfxf，这是一阶线性微分方程，所以)()()()(1ceecdxeecdxeexfxxxxdxdx，又由xduufxxf0)()(可知0)0(f，从而1c，所以所求1)(xexf.3、证明：因为)(),(),(321xyxyxy都是方程)()()(xfyxQyxPy的特解，所以21yy和32yy都是方程)()()(xfyxQyxPy对应齐次方程的解，又因3221yyyy不恒等于常数，所以21yy和32yy线性无关，从而对应齐次方程的通解为)()(322211yycyycY，所以原方程的通解为1yYy1322211)()(yyycyyc，即3221211)()1(ycyccycy.