《高等代数》月测试试题与及答案

-1-《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）（2004年12月）一、（共12分）叙述下列概念或命题：（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组12,,,s称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数12,,,skkk，使11220sskkk.注对如下定义也视为正确：如果向量组12,,,s（1s）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组12,,,s称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注对如下定义也视为正确：向量组12,,,s的一个部分组12,,,tiii称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）12,,,tiii线性无关；（ⅱ）12,,,s可由12,,,tiii线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分）1．1122121233443434ababaabbababaabb．（×）2．若向量组12,,,s（1s）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部n（1n）级排列中，奇排列的个数为!2n．（√）4．若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．（×）5．若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r级的子式（如果有的话）全为零．（√）6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．（×）7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解．（×）8．对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．（×）9．等价向量组的秩相等．（√）10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．（√）三、（共18分）计算行列式（1）1827641491612341111解原式3332222223331111123412341234123412341234111112．注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．-2-（2）1111222abcbcacabbccaab解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0．注本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0．（3）11212212nnnnaxaaaaxaaaax（120nxxx）．解原式112312131000000nnaxaaaxxxxxx123123(1)000000000niniinaxaaaxxxx121(1)niniiaxxxx．注本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：1121121221221211121200nnnnnnnnnaxaaaxaaaxaaaxDaxxxxDaaaaax，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．四、设向量组1(1,1,0,0)，2(1,2,1,1)，3(0,1,1,1)，4(1,3,2,1)，5(2,6,4,1)．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）解1101212136011240111110101011020001100000…………（5分）故向量组的秩为3，124,,是一个极大线性无关组，并且…………（8分）312，51242．…………（10分）-3-注本题关于极大线性无关组答案中，除123,,不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分．五、讨论取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）123123123111xxxxxxxxx解方程组的增广矩阵为111111111，系数行列式为21111(2)(1)11……（2分）（1）当1且2时，方程有唯一解，此时…………（3分）111222311111111111133111111221111010211110012311111002211010010221100100122，故得解为12312xxx；…………（5分）（2）当2时，增广矩阵211121111211121111210003，无解；…………（7分）（3）当1时，增广矩阵111111111111000011110000，有无穷多组解，通解为1231xxx（23,xx为自由未知量），或表成12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)kk．……（10分）注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分．六、证明题：（每小题10分，共30分）1．证明：如果向量组12,,,r线性无关，而12,,,,r线性相关，则向量可以由12,,,r线性表示，且表示法唯一．（10分）．证明（1）由12,,,,r线性相关，存在不全为零的数121,,,,rrkkkk，使-4-112210rrrkkkk…………（2分）又由12,,,r线性无关，得10rk（否则，12,,,r线性相关，矛盾）…………（4分）于是，1212111rrrrrkkkkkk；…………（5分）（2）设1122rrccc，1122rrlll，则11221122rrrrccclll，即111222()()()0rrrclclcl，由于12,,,r线性无关，故11220,0,,0rrclclcl，即iicl（1,2,,ir）．…………（10分）2．证明：若向量,,线性无关，则,,也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明设123()()()0kkk，即131223()())()0kkkkkk，…………（2分）由于,,线性无关，故有131223000kkkkkk解之得，1230kkk…………（5分）故,,也线性无关．…………（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量1234,,,线性无关，并不能得到向量12233441,,,线性无关的结论．注1由12233441()()()()0知，12233441,,,是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论:若4个向量1234,,,线性无关，则向量234134124123,,,也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设12,,naaa是数域P中个互不相同的数，12,,,nbbb是数域P中任一组给定的数．求证：（1）存在唯一的数域P上的次数不超过1n的多项式01()fxccx22nncx11nncx，使()iifab，1,2,,in；（2）特别的，求出使1()niifaa，1,2,,in成立的1n次的多项式()fx．-5-证明（1）将()iifab，1,2,,in，代入01()fxccx22nncx11nncx，得21011121112102122212210121nnnnnnnnnnnnnnnncacacacbcacacacbcacacacb…………（2分）由于系数行列式1111221111nnnnnaaaaaa1()0jiijnaa，…………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域P上的次数不超过1n的多项式01()fxccx22nncx11nncx，使()iifab，1,2,,in；…………（5分）（2）由克莱姆定理110DxD，，110nnDxD，111nnDDxDD，故使1()niifaa，1,2,,in成立的1n次的多项式为1()nfxx．…………（10分）注对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出1()nfxx的也给满分．七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量,,两两线性无关，则,,线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．………（5分）很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面．………（10分）注否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．