《高等数学》期末考试卷(B卷)(2012—2013下)2

上海财经大学浙江学院《高等数学》期末考试卷（B卷）(2012—2013学年第二学期)考试形式闭卷使用学生2012级学生考试时间120分钟出卷时间2013年6月4日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。答题时字迹要清晰。姓名学号班级一、单项选择题(每题3分，共30分)1．识别方程2()20xyyyx，它属于（）.（A）二阶微分方程（B）一阶微分方程；（C）一阶线性微分方程（D）可分离变量的微分方程.2．定积分1221lnxdxx值的符号为（）.A大于零.B小于零（因为在给定区间上被积函数小于0，根据是几何意义）3.设区域D由0,0,24xyxy所围成，则4Ddxdy（）（D）16（144424162DdxdyS）4.数()(,)sinxyfxyxye，则(0,0)xf=（）（A）0（B）1（C）-1（D）25．设2()sin2dxafxtt，则)1(f=（A）sin1（B）sin4（C）sin2（D）sin4sina（此题无正确选项，答案应该是2sin4）6.设2224cos1sin2xdxxxM，222)cos(sindxxxN，22254)cossin(dxxxxP，则有（）（A）MPN；（B）NpM；（C）PMN；（D）NMP。7．设函数(,)zfxy的定义域为(,)01,01Dxyxy，则函数23(,)fxy的定义域().（A）(,)01,01Dxyxy；（B）(,)11,01Dxyxy；（C）(,)01,11Dxyxy；（D）(,)11,11Dxyxy8．幂级数1nnxn的收敛区域是（）（A）（-1,1）（B）2,0（C）1,1（D）(0,2)9．微分方程xyy2的特解y的形式为（）(A)ax；(B)bax；(C)2ax；(D)bxax2。10.若lim,nnu则级数1111nnnuu（）.（Ａ）一定发散，（Ｂ）一定收敛于０，（Ｃ）一定收敛于11u；（Ｄ）敛散性不能确定.二、填空题(每题2分，共10分)11.设22(,)fxyxy，则(,)fxy定义域为22,0xyxy12.若级数1nna收敛，则lim0nna；13.交换二次积分的积分次序11110101(,)(,)yxdyfxydxdxfxydy14.以函数xxeCeCy221为通解的微分方程是320yyy；15.badxxf)2(1222fbfa三、计算题(每题6分，共48分)16.求定积分301dxxx；解：令1xt，则有21xt2225411211256tttdttt原式17.求定积分0|cos|dIxx；解：原式=220022coscossinsinxdxxdxxx18．设ln()zxy，求2zxy；解：1zxxy，2211zxyyxyxy19.计算2ddDxyxy其中:12,13Dxyx；原式=232232321111126874xxdxxydyxydxxxxdx20.计算二重积分22ddDIxyxy，其中D由不等式222xya所确定；原式=222333300000111223333aadrrdrrdadrr21.求下列函数项级数的收敛域：11(1)nnxn；解：令1xt，则级数变为1nntn1lim1nnnaa，所以级数1nntn的收敛半径11R当1t时，级数为1(1)nnn，由莱布尼兹判别法知其收敛当1t时，级数11nn，调和级数，发散；于是级数1nntn的收敛域为11t.由111x得02x22．求微分方程ddyxyx的通解；解：分离变量：1dyxdxy，两边积分得：211ln2yxC，整理得原方程的通解为212xyCe23．求方程'480yyy的通解.解：特征方程为2480，解得1,222i，于是原方程的通解为：212cos2sin2xyeCxCx四、应用题（每题7分，共7分）24.中有Cobb-Donuglas生产函数模型:1),(yCxyxQ,式中x表示劳动力的数量，y表示资本数量,C与(10)是常数，由不同企业的具体情形决定.函数值表示生产量.现已知某生产商的Cobb-Donuglas生产函数为3144(,)80Qxyxy，若每单位劳力需600元，每单位资本是2000元，工厂对该产品的劳力和资本的投入总预算是40万元，试求最佳资金投入分配方案.解：（此题请参照A卷）五、证明题（每题5分，共5分）25.证明：11(1)23nnn条件收敛。证明：第一步证级数收敛由于11(1)23nnn是一个交错级数，用莱布尼兹判别法判断.因为：1112325nnuunn，且1limlim023nnnun所以由莱布尼兹判别法，级数11(1)23nnn收敛.第二步证明绝对值级数发散1111|(1)|2323nnnnn，由于1112322nn，而112nn是把级数11nn去掉前两项后得到的级数，由级数的性质，去掉有限项不影响级数的收敛性，因而级数112nn发散，由比较判别法可知级数1123nn是发散的，即原级数的绝对值级数发散综合第一步和第二步，原级数11(1)sinnnn收敛，但绝对值级数发散，故条件收敛.