《高等数学》期末考试复习题

一．填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a＝。2、若曲面2132222zyx的切平面平行于平面02564zyx，则切点坐标为。3、二重积分dxeydyyx1103的值为。4、微分方程2yxyy的通解为。5、设ln()zxxy，则32zxy。二．选择题（本题共5小题，每题2分，共10分）1、二元函数),(yxfz在),(00yx处可微的充分条件是（）。（A）),(yxf在),(00yx处连续；（B）),(yxfx，),(yxfy在),(00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfzyx),(),(0000当0)()(22yx时，是无穷小；（D）0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx。2、设),()(xyxfyxyfu其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux等于（）。（A）yx；（B）x；(C)y；(D)0。3、设函数0,00,),(2222422yxyxyxxyyxf,则在点（0，0）处（）。（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。4、设),(yxu在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及22xu022yu，则（）。（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。5、设级数1nna为一交错级数，则（）。(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若)0(0nan，则必收敛。三．综合题（本题共7小题，每题10分，共70分）1．求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1,1,2)处的切线及法平面方程。（10分）2．求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积。（10分）3．判定级数11(1)lnnnnn是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。（10分）4．设(,)sinxzfxyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy。（10分）5.将函数223)(xxxf展开成x的幂级数，并指出收敛域。（10分）6．求函数)4(),(2yxyxyxf在由直线0,0,6xyyx所围成的闭区域D上的最大值和最小值。（10分）7．解方程)lnln1('xyyxy。（10分）填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、z=)0()(log22ayxa的定义域为：D=。2、二重积分1||||22)ln(yxdxdyyx的符号为。3、由曲线xyln及直线1eyx，1y所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。4、微分方程xyxydxdytan的通解为。5、级数1)1(1nnn的和为。二．选择题（本题共5小题，每题2分，共10分）1、二元函数),(yxfz在),(00yx处可微的充分条件是（）。（A）),(yxf在),(00yx处连续；（B）),(yxfx，),(yxfy在),(00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfzyx),(),(0000当0)()(22yx时，是无穷小；（D）0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx。2、设),()(xyxfyxyfu其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux等于（）。（A）yx；（B）x；(C)y；(D)0。3、设函数0,00,),(2222422yxyxyxxyyxf,则在点（0，0）处（）。（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。4、设),(yxu在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及22xu022yu，则（）。（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。5、设级数1nna为一交错级数，则（）。(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若)0(0nan，则必收敛。三．综合题（本题共7小题，每题10分，共70分）1．已知22),,(zxyzyxf及点)1,1,2(A、)1,1,3(B，求函数),,(zyxf在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。（10分）2．设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxz2。（10分）3．计算I2022xydyedx。（10分）4．求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数。（10分）5．设对任意)(,,xfyx满足方程)()(1)()()(yfxfyfxfyxf，且)0(f存在，求)(xf。6．求级数11212)2()1(nnnnx的收敛区间。（10分）6．解方程)lnln1('xyyxy。（10分）