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用心爱心专心1第三章证明(三)复习教案总课时：3课时第三章回顾与思考(一)1、教学目标：①能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。②掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。2、过程与方法：①会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。②学会对证明方法的总结。3、情感态度与价值观：进一步培养学生的学习数学的积极性教学重点：特殊四边形的性质与判定及应用教学难点：特殊四边形的性质与判定及应用教学过程第一环节台下准备——学生搜集整理资料活动内容：学生以小组为单位，以特殊四边形之间的关系为主线索，将本章节的定理进行整理，找到各知识点间的联系，进行串联。根据其中的知识点，选择合适的例题诠释。第二环节台上展示——学生创设线索展示成绩（20分钟）教师和学生一起回顾本章的主要内容。第一组展示以“四边形判定”为线索内容：1.从四边形到正方形的递进式关系出发，以特殊四边形的判定定理为线索，进行复习回顾。用心爱心专心2学生总结的关系图：任意四边形（1）两组对边平行（2）两组对边相等（3）一组对边平行且相等（4）两组对角相等（5）对角线互相平分平行四边形（1）一组邻边相等（1）一个角是直角（2）对角线互相垂直（2）对角线相等菱形矩形（1）一个角是直角（1）一组邻边相等（2）对角线相等（2）对角线互相垂直正方形这个环节，展示的同学与其他同学以“问答”的互动形式来完成探索、回顾的过程，共同完成以上的关系图。老师需要在这个环节进行一些补充：第一，定理的补充：四边形→矩形；四边形→菱形。即，有三个角是直角的四边形是矩形；四条边都相等四边形是菱形。强调这是建立在四边形基础上的判定定理，与前面建立在平行四边形基础上要有所区别。第二，要求学生对每个定理都应该能用数学符号语言表述已知、求证、证明，并且会应用定理证明其他命题。第三，总结出完整地理顺这些判定定理，首先要清楚四边形到正方形，是从一般到特殊的过程；其次要明白补充的条件是边→角→对角线的从外到内的过程。2.应用定理完成例题用心爱心专心3例1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。求证：①四边形AEDF是菱形②当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？第二组展示以“四边形性质定理”为线索内容：以特殊四边形的性质定理为线索，进行复习回顾。说出性质的相同点、不同点和联系点。应用性质完成例题：例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，且BE∥DF。求证：BE＝DF。教师在这里将这道题进行开放处理：边角对角线平行四边形对边平行，对边相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行，对边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线相等菱形对边平行，四边相等对角相等对角线互相平分对角线互相垂直对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等对角线平分一组对角BFCDEADCBAEFO用心爱心专心4例2’如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，求证：BE＝DF或BE∥DF。由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。教师通过开放例题给学生传递的是一种总结证明方法的信息：根据特殊四边形的性质，学生应该能够体会到，在证明命题时有了很多新的工具。比如证明平行时，除了以前的同位角、内错角等，还先证明平行四边形；在证明边等时，除了全等，还可以分析所证线段是否为特殊四边形对边、矩形的对角线等。第二组展示以“四边形性质定理”为线索内容：以特殊四边形的性质定理为线索，进行复习回顾。例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，边角对角线平行四边形对边平行，对边相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行，对边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线相等菱形对边平行，四边相等对角相等对角线互相平分对角线互相垂直对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等对角线平分一组对角用心爱心专心5且BE∥DF。求证：BE＝DF。教师在这里将这道题进行开放处理：例2’如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，_________,求证：BE＝DF或BE∥DF。由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。教师通过开放例题给学生传递的是一种总结证明方法的信息：根据特殊四边形的性质，学生应该能够体会到，在证明命题时有了很多新的工具。比如证明平行时，除了以前的同位角、内错角等，还先证明平行四边形；在证明边等时，除了全等，还可以分析所证线段是否为特殊四边形对边、矩形的对角线等。第三组展示以“三角形的中位线和中线”为线索内容：这一章节中，学习了两个与三角形有关的定理，三角形中位线的定义和性质定理，直角三角形斜边中线的性质定理以及利用中线判定直角三角形的定理。所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。例3.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。DCBAEFOGHFDAEBC用心爱心专心6例4.如图，已知：△ABC，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别为BC、EF中点，求证：MN⊥EF。拓展例4’，变化条件和结论如图，已知：△ABC中，M、N分别为BC、EF中点，MN⊥EF，CF⊥AB，求证：BE⊥AC例5.如图在△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F、分别是BC、CA、AB边的中点。求证：AD＝EF第四组展示以“三角形中位线”为线索内容：老师选取学生作品当中最经典的一个问题情景：依次连接四边形各边中点所得到的图形，请添加合理的条件并提出问题，回答问题，简单口述理由。学生所提的问题应该囊括在以下几个问题：1.连结任意四边形各边中点得到什么图形？2.满足什么条件的四边形，连结其各边中点可以得到矩形？菱形？正方形？3.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的各边中点又可以得到什么图形？最后教师要引导学生总结出：原四边形对角线的位置或数量关系，决定了所得新四边形邻边的位置和数量关系，依此来决定所得四边形的形状。教师还可以根据学情自己加入一些与探索类问题相关联的小问题。如：原来的四边形面积为a，这样依次内接n次得到的新四边形面积如何表示？对角线相等的四边形依次这样内接，得到的四边形有什么规律？原来对角线都是10，EFDCBAEFBCMAN用心爱心专心7则第2n+1个图形的周长是多少？等等。第三环节反思小结（师生共同总结5分钟）课堂小结，让学生们互相提问、解答，吸收复习课上所回顾的内容，各自查漏补缺，将模糊不懂的理解透彻。第四环节、课外作业：内容：每小组完成一份第二课时的复习提纲。A层，所有学生都需要将课本复习题，逐个以知识点归类，并按兴趣搜集某知识点的拓展题目。B层，根据本章节的复习方式，结合证明（一）、（二）进行全面的回顾复习，完成第二课时的部分提纲，从给定的六个公理及有关概念的定义出发，通过逻辑推理证明，得到平行线、三角形和平行四边形等基本图形的有关结论，完成初中阶段几何局部的公理化体系。C组：熟背性质与判定板书设计：教学反思：不要让学生感觉到复习课，就是老师把所学过的知识用提问的方式回顾后，再用大量练习题或难题的讲解替代了真正意义上的复习。我觉得一定要让学生在复习课上有新鲜的感觉，有主动权。使得每位学生都能在复习课上充分地思考，这一阶段所学内容之间的联系，用积极的心态、合作的方式把知识点串联起来，发现一些题型之间的规律，总结出解决方法上的窍门。知识框架图形用心爱心专心8第三章证明(三)测试1、如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，你能证明吗？引伸：⑴在这个图形中除△BCD≌△BED外，还有其它的全等三角形，⑵当AB=6;BC=8时，你能求出重叠部分的面积吗？⑶在⑵的条件下对这个图形你还可以作何尝试？2、在△ABC中，∠ACB=90°，E时AB中点，以A、C、E为定点作平行四边形。⑴当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并证明你的结论。⑵四边形ACEF有可能是正方形？为什么？ABCCBCCCCCBCCCCCCCDBCCBCCCCCDBCCBCCCCCABCCBCCCCCBCCCCCCCEBCCBCCCCCCCCCBCCCECCCFCCCACCC用心爱心专心93、以△ABC的三边为边，在BC的同侧做等边三角形△ABD、△BCE、△ACF⑴判定四边形ADEF的形状并加以证明⑵当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？⑶当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？⑷当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？⑸当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF不存在？4、△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，连接AE、DF。1）AE、DF有什么关系？2）△ABC满足什么条件时，AE⊥DF？3）△ABC满足什么条件时，AE=DF？4)△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？4、如图，矩形纸片ABCD，把纸片折叠使A、C二点重合，得到折痕EF，连接AF、CE，判断四边形FCCADBDBADEBADCEF用心爱心专心10AFCE的形状并加以证明。5、先用木条制成活动的四边形，再用彩色的橡皮筋顺次连成中点四边形。1）无论四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状怎样？2）若四边形的对角线互相垂直，中点四边形的形状是什么？3）若四边形的对角线相等，中点四边形的形状是什么？4）若四边形的对角线互相垂直且相等，中点四边形的形状是什么？5）当活动的四边形二条便在同一直线上时，四边形ABCD变成△ABD，那么中点四边形的形状怎样？6、已知直角梯形ABCD中AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=24,BC=26,点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t。1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？BABACDAEGHFEAHDGFABPQD用心爱心专心112）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？C