【2013年高考数学必看】10-7二项式定理(理)

10-7二项式定理(理)基础巩固强化1.(2011·北京模拟)(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝()A．3B．4C．5D．6[答案]D[解析]Tr＋1＝Crn(x2)n－r·(－1x)r＝(－1)r·Crnx2n－3r，令2n－3r＝0得，r＝2n3，∴n能被3整除，结合选项，当n＝3时，r＝2，此时常数项为(－1)2·C23＝3，不合题意，当n＝6时，r＝4，常数项为(－1)4C46＝15，∴选D.2．(2012·东北三校二模)在(x＋13x)30的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案]C[解析]展开式的通项Tr＋1＝Cr30(x)30－r·(13x)r＝Cr30x90－5r6，∵90－5r6是整数，0≤r≤30，且90能被6整除，∴r能被6整除，∴r＝0,6,12,18,24,30时，x的幂指数是整数，故选C.3．(2012·湖北，5)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12[答案]A[解析]本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C02012522012－C12012522011＋C22012522010＋…＋C20112012×52×(－1)2011＋C20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a＝12.4．(2012·天津理，5)在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为()A．10B．－10C．40D．－40[答案]D[解析]本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．(2x2－1x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x2)5－r(－1x)r＝Cr525－r(－1)rx10－3r，令10­3r＝1得，r＝3，∴T4＝C3522(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.[点评]把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误．5．(2012·陕西礼泉一中期末)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的()A．第11项B．第13项C．第18项D．第20项[答案]D[解析](1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为C45＋C46＋C47＝C15＋C26＋C37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.6．(2011·河北石家庄一模)多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为()A．10B．45C．－9D．－45[答案]B[解析]x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C110(x－1)＋C210(x－1)2＋…＋C1010(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C810＝C210＝45.7．(2012·河南商丘市模拟)二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为52，则x在[0,2π]内的值为________．[答案]π6或5π6[解析]由题意得T4＝C36·sin3x＝20sin3x＝52，∴sinx＝12，∵x∈[0,2π]，∴x＝π6或5π6.8．(2011·广东六校联考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.[答案]256[解析](x－a)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8·x8－r·(－a)r＝(－1)rCr8·ar·x8－r，令8－r＝5，则r＝3，于是a5＝(－1)3C38·a3＝56，解得a＝－1，即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.9．若x2＋1ax6的二项展开式中，x3的系数为52，则二项式系数最大的项为________．[答案]52x3[解析]∵Tr＋1＝Cr6(x2)6－r1axr＝Cr6a－rx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C36a－3＝52，解得a＝2.故二项式系数最大的项为T4＝C36(x2)3(12x)3＝52x3.10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案]3[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.能力拓展提升11.(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n＝∫e611xdx，那么(x－3x)n展开式中含x2项的系数为()A．125B．135C．－135D．－125[答案]B[解析]12．(2012·山西六校模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy0，则x的取值范围是()A．(－∞，15)B．[45，＋∞)C．(－∞，－45]D．(1，＋∞)[答案]D[解析]二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝Cr9·x9－r·yr.依题意有C19·x9－1·y≤C29·x9－2·y2x＋y＝1xy0，由此得x8·1－x－4x7·1－x2≤0x1－x0，由此解得x1，即x的取值范围是(1，＋∞)，选D.13．(2011·安徽宣城模拟)在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．[答案]480[解析](x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－r(－2)r，令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C25(－2)2＝40；(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr4(2)4－ryr，令r＝2得y2的系数C24(2)2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.14．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．[答案]－15[解析]从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.15．(2011·安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.[答案]0[解析]a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.16．已知数列{an}满足an＝n·2n－1(n∈N*)，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋bnCnn对一切正整数n成立？并证明你的结论．[解析]假设等差数列{bn}使等式n·2n－1＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋bnCnn对一切正整数n成立，当n＝1时，得1＝b1C11，∴b1＝1，当n＝2时，得4＝b1C12＋b2C22，∴b2＝2，当n＝3时，得12＝b1C13＋b2C23＋b3C33，∴b3＝3，可猜想bn＝n时，n·2n－1＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn.∵kCkn＝k·n！k！n－k！＝n·n－1！k－1！n－k！＝nCk－1n－1.∴C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n(C0n－1＋C1n－1＋…＋Cn－1n－1)＝n·2n－1.故存在等差数列{bn}(bn＝n)，使已知等式对一切n∈N*成立．1．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x－1x)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A．－5B．5C．－405D．405[答案]C[解析]令x＝1得2n＝32，所以n＝5，于是(3x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr5(3x)5－r(1x)r＝(－1)rCr535－rx5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，于是展开式中含x3的项的系数为(－1)1C1534＝－405，故选C.2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]A[解析]依题意，令x＋2＝1，等式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a11.把x＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.3．已知x2＋ax6展开式中x6项的系数为60，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．[答案]1[解析]x2＋ax6展开式中的第r＋1项Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·axr＝arCr6x12－3r，令12－3r＝6得，r＝2，∴a2C26＝60，∴a2＝4.∵a0，∴a＝－2，令x＝1得展开式各项系数之和为1＋－216＝1.4．将1－1x2n(n∈N*)的展开式中x－4的系数记为an，则1a2＋1a3＋…＋1a2014＝________.[答案]20131007[解析]第r＋1项Tr＋1＝Crn·－1x2r＝(－1)rCrnx－2r，令－2r＝－4，∴r＝2，∴an＝(－1)2C2n＝nn－12，∴1a2＋1a3＋…＋1a2014＝21×2＋22×3＋…＋22013×2014＝2×1－12＋12－13＋…＋12013－12014＝2×1－12014＝20131007.5．(2012·沈阳市二模)若(x－ax2)n展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a的值是________．[答案]±1[解析]由条件知，2n＝1024，∴n＝10，二项展开式的通项Tr＋1＝Cr10(x)10－r·(－ax2)r＝(－a)r·Cr10·x10－5r2，令10－5r2＝0得r＝2，∴常数项为T3＝(－a)2·C210＝45a2＝45，∴a＝±1.