【2013年高考数学必看】7-2基本不等式

7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)，若x0时，有ax1，则不等式f(1－1x)1的解集为()A．(11－a，＋∞)B．(1，1a)C．(－∞，11－a)D．(1，11－a)[答案]D[解析]依题意得0a1，于是由f(1－1x)1得loga(1－1x)logaa,01－1xa，由此解得1x11－a，因此不等式f(1－1x)1的解集是(1，11－a)，选D.(理)“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案]A[解析]∵a＝14，x0时，x＋ax≥2x·ax＝1，等号在x＝12时成立，又a＝4时，x＋ax＝x＋4x≥2x·4x＝4也满足x＋ax≥1，故选A.2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0，(b∈R)外切，则a＋b的最大值为()A．－32B．－3C．3D．32[答案]D[解析]⊙C1：(x＋a)2＋y2＝4的圆心C1(－a,0)，半径r1＝2，⊙C2：x2＋(y－b)2＝1的圆心C2(0，b)，半径r2＝1，∵⊙C1与⊙C2外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，∴a2＋b2＝9，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝18，∴a＋b≤32，等号在a＝b＝322时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为()A.14B.2C.32＋2D.32＋22[答案]C[解析]圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a＋b)(1a＋1b)＝32＋ba＋a2b≥32＋2，当且仅当ba＝a2b，即a＝2(2－1)，b＝2－2时取等号，故选C.3．(2012·河南六市联考)函数y＝logax＋1(a0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm＋yn－4＝0(m0，n0)上，则m＋n的最小值为()A．2＋2B．2C．1D．4[答案]C[解析]y＝logax＋1过定点A(1,1)，∵A在直线xm＋yn－4＝0上，∴1m＋1n＝4，∵m0，n0，∴m＋n＝14(m＋n)(1m＋1n)＝14(2＋nm＋mn)≥14(2＋2nm·mn)＝1，等号在m＝n＝12时成立，∴m＋n的最小值为1.4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.1a＋1b有最大值4B．ab有最小值14C.a＋b有最大值2D．a2＋b2有最小值22[答案]C[解析]由基本不等式，得ab≤a2＋b22＝a＋b2－2ab2＝12－ab，所以ab≤14，故B错；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，故A错；由基本不等式得a＋b2≤a＋b2＝12，即a＋b≤2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故D错．故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0x1，则4x＋91－x的最小值为()A．24B．26C．25D．1[答案]C[解析]依题意得4x＋91－x＝(4x＋91－x)[x＋(1－x)]＝13＋41－xx＋9x1－x≥13＋241－xx·9x1－x＝25，当且仅当41－xx＝9x1－x，即x＝25时取等号，选C.5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()A．2B．23C．6D．9[答案]C[解析]由题意知a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝6，等号成立时，x＝12，y＝2，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[答案]B[解析]由题意知仓储x件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y＝x8＋800x≥2x8×800x＝20，当且仅当x＝80等号成立．7．已知c是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的半焦距，则ca＋b的取值范围是________．[答案][22，1)[解析]由题设条件知，a＋bc，∴ca＋b1，∵a2＋b2＝c2，∴(ca＋b)2＝c2a2＋b2＋2ab≥c22a2＋b2＝12，∴ca＋b≥22，22≤ca＋b1.8．(文)(2011·温州一检)已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案]12[解析]由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为x2＋y＝1，x∈[0,2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以a2＋b＝1，a∈[0,2]，又a2＋b≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a2＝b＝12，即P(1，12)时，ab取得最大值12.(理)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．[答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为xa＋yb＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a0，b0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．[答案]4[解析]由题意，P，Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k0)，从而P(2k，2k)，Q(－2k，－2k)．则PQ＝8k2＋8k2≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.[点评](1)用基本不等式a＋b2≥ab求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．(3)注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，2x0)，x00，则|PQ|＝2|OP|＝2x20＋4x0≥4，x0＝2时取等号，更简捷的获解．(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案]4和12[解析]设两个括号中的正整数分别为x，y，则x0，y0，1x＋9y＝1，x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx·9xy＝16，等号在yx＝9xy，即y＝3x时成立，由1x＋9y＝1y＝3x解得x＝4，y＝12.10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a0，b0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，求1a＋4b的最小值．[解析]由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，∴圆的圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴1a＋4b＝b＋4aab＝1ab，由1＝4a＋b≥24ab＝4ab，得ab≤116，∴1ab≥16，∴1a＋4b的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30m，AD＝20m.记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？[解析](1)设DQ＝xm(x0)，则AQ＝x＋20，∵QDDC＝AQAP，∴x30＝x＋20AP，∴AP＝30x＋20x，则S＝12×AP×AQ＝15x＋202x＝15(x＋400x＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴0x≤203或x≥60答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0DQ≤203或DQ≥60.能力拓展提升11.(文)已知－1a0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝11＋a，比较A、B、C的大小结果为()A．ABCB．BACC．ACBD．BCA[答案]B[解析]不妨设a＝－12，则A＝54，B＝34，C＝2，由此猜想BAC.由－1a0得1＋a0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a20得AB，C－A＝11＋a－(1＋a2)＝－aa2＋a＋11＋a＝－aa＋122＋341＋a0，得CA，∴BAC.(理)(2012·济南一模)若实数x、y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是()A．0t≤2B．0t≤4C．2t≤4D．t≥4[答案]C[解析]设a＝2x，b＝2y，则a0，b0，由条件得a2＋b2＝2(a＋b)，∵a2＋b2≥a＋b22，∴(a＋b)2≤4(a＋b)，∴a＋b≤4，又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab0，∴a＋b2，∴2a＋b≤4.12．(2011·福建文，10)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案]D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，∴ab≤(a＋b2)2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x0，y0，若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2[答案]D[解析]∵x0，y0，∴2yx＋8xy≥22yx·8xy＝8，由条件知m2＋2m8，解得－4m2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D．不存在[答案]A[解析]由已知an0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋2a6q，∴q2－q－2＝0，∵q0，∴q＝2，∵aman＝4a1，∴a21·qm＋n－2＝16a21，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥165＋2nm·4mn＝32，等号在nm＝4mn，即n＝2m＝4时成立．14．如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设DFDE＝λ1，AEAC＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF的面积为S＝f(λ1，λ2)，则S的最大值是________．[答案]132[解析]连接BE.因为△ABC的面积为1，AEAC＝λ2，所以△ABE的面积为λ2.因为D是AB的中点，所以△BDE的面积为λ22.因为DFDE＝λ1，所以△BDF的面积S＝f(λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．15．(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m