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用心爱心专心11．已知数列{an}满足，a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N＋)，则a20等于()A．0B．－3C.3D.32解析：选B.a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，…∴每三项为一个周期，故a20＝－3.2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N)，则通项公式为()A．3nB．2nC．nD.12n解析：选B.由条件知an－an－1＝2，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)·2＋2＝2n.3．若数列{an}前8项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N＋都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为()A．{a2k＋1}B．{a3k＋1}C．{a4k＋1}D．{a6k＋1}解析：选B.∵k∈N＋，∴k＝1,2,3，….∴当令k＝1,2，…，7,8时，a2k＋1取得的均为奇数项而无偶数项．∴数列{a2k＋1}不能取遍数列{an}的前8项．又令k＝1,2，…，7,8时，数列{a3k＋1}可以取遍数列{an}的前8项．∴应选B.4．函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011＝________.x12345f(x)51342答案：25．设数列{an}满足a1＝1，an＝2＋1an－1(n＞1且n∈N)，试写出这个数列的前4项．解：∵a1＝1，an＝2＋1an－1(n＞1且n∈N)，∴a2＝2＋1a1＝3，a3＝2＋1a2＝2＋13＝73，∴a4＝2＋1a3＝2＋37＝177.1．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21解析：选C.由ap＋q＝ap＋aq，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理a8＝a4＋a4＝－24，用心爱心专心2所以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.2．已知数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－1an＋1(n＝1,2,3…)，能使an＝b成立的n的值是()A．14B．15C．16D．17解析：选C.∵a2＝－1b＋1，a3＝－b＋1b，a4＝b，∴数列{an}中各项数以3为周期出现，在a14，a15，a16，a17四个数中，a16＝a4＝b.3．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2，n∈N)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是()A．x100＝－a，S100＝2b－aB．x100＝－b，S100＝2b－aC．x100＝－b，S100＝b－aD．x100＝－a，S100＝b－a解析：选A.∵x1＝a，x2＝b，∴x3＝b－a，x4＝－a，x5＝－b，x6＝a－b，x7＝a，∴数列{an}是周期数列，周期T＝6，可得x100＝－a，S100＝2b－a.4．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an对所有正整数n都成立，则a10等于()A．34B．55C．89D．100解析：选B.由递推公式求出数列的前10项是a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55.5．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是()A．5－3nB．3·2n－1－1C．5－3n2D．5·2n－1－3答案：D6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：选A.由条件知an＋1－an＝ln(1＋1n)＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn.再由该递推公式：an－an－1＝lnn－ln(n－1)，an－1－an－2＝ln(n－1)－ln(n－2)，…，a2－a1＝ln2－ln1.将以上等式左右两边分别相加，得an－a1＝lnn，所以an＝a1＋lnn＝2＋lnn.故选A.7．已知数列a1＝67，an＋1＝2an0≤an＜12，2an－112≤an＜1，则a2011的值为________．解析：因为a1＝67，a2＝57，a3＝37，a4＝67，…，所以此数列是一个以三项为一个周期的数列，所以a2011＝a4＝67.答案：678．已知数列{an}满足a1＝12，an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N)，则a4＝________.用心爱心专心3解析：a2＝1×a1＝12，a3＝2a2＝2×12＝1，a4＝3a3＝3×1＝3.答案：39．根据下列5个图形中相应圆点个数的变化规律，猜测第n个图中有________个圆点．解析：由前5个图形可知，第n个图形应是自中间一个圆点起，向外分n支，每支各有(n－1)个圆点，因此共有(n－1)×n＋1个圆点，即n2－n＋1个圆点．答案：n2－n＋110．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a2n＋1－anan＋2＝(－1)n，求数列的前5项．解：由条件可得an＋2＝a2n＋1－－nan，∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝a22－－1a1＝32＋11＝10，a4＝a23－－2a2＝102－13＝33，a5＝a24－－3a3＝332＋110＝109，故前5项分别为1、3、10、33、109.11．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意n∈N＋都有an＋1＝2an2－an，求该数列的通项公式．解：由an＋1＝2an2－an，得1an＋1＝1an－12.利用累加法，可得1an＝3－n2，∴an＝23－n(n∈N＋)．12．某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜．用An、Bn分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出An与An－1的关系及Bn与Bn－1的关系．解：由题意知，An＝An－1×80%＋Bn－1×30%＝45An－1＋(1000－An－1)×310＝12An－1＋300(n≥2，n∈N)，Bn＝Bn－1×(1－30%)＋An－1×20%＝710Bn－1＋(1000－Bn－1)×15＝12Bn－1＋200(n≥2，n∈N)．