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用心爱心专心11．若0a1a2,0b1b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.12解析：选A.利用特殊值法：a1＝15，a2＝45，b1＝14，b2＝34，可验证A最大．2．如果loga3＞logb3＞0那么a，b间的关系是()A．0＜a＜b＜1B．1＜a＜bC．0＜b＜a＜1D．1＜b＜a解析：选B.由loga3＞logb3＞0得lg3lga＞lg3lgb＞0，∴0＜lga＜lgb，∴1＜a＜b.3．若直线xa＋yb＝1通过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1解析：选D.由题意知直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有交点，则11a2＋1b2≤1，所以1a2＋1b2≥1，即1a2＋1b2≥1，故选D.4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，∴1－2≤a－b≤1＋5，即－1≤a－b≤6.答案：[－1,6]5．糖水是日常生活中常见的东西，下列关于糖水浓度的问题，请提炼出一个不等式来．(1)如果向一杯糖水里添上点糖，糖水就更甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．解：(1)设糖水b克，含糖a克，浓度为ab，添入m克糖后的浓度为a＋mb＋m，则提炼出的不等式模型为：若ba0，m0，则aba＋mb＋m.(2)设淡糖水b1克，含糖a1克，浓度为a1b1；浓糖水b2克，含糖a2克，浓度为a2b2，则混合后的浓度为a1＋a2b1＋b2，所提炼出的不等式模型为：若b1a10，b2a20，且a1b1a2b2，则a1b1a1＋a2b1＋b2a2b2.1．已知实数a、b、c、d满足ab，cd，(a－c)(a－d)＝4，(b－c)(b－d)＝4，则()A．abcdB．cdabC．cadbD．acdb解析：选D.由(a－c)(a－d)＝4及(b－c)(b－d)＝4知a、b是方程(x－c)(x－d)＝4的两个实根．∴由根与系数的关系得a＋b＝c＋d.由不等式性质淘汰A、B、C，故选D.2．(2011年松原高二检测)若x＞1＞y，下列不等式不成立的是()用心爱心专心2A．x－1＞1－yB．x－1＞y－1C．x－y＞1－yD．1－x＞y－x解析：选A.若x＝32，y＝14，则x－1＜1－y，故A错．3．若6＜a＜10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．9≤c≤18B．15＜c＜30C．9≤c≤30D．9＜c＜30解析：选D.∵3＜b＜20，∴9＜a＋b＜30.4．已知函数f(x)＝x＋x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0B．一定小于0C．等于0D．正负都有可能解析：选B.显然函数f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数．∵x1＋x30，∴x1－x3，∴f(x1)f(－x3)，∴f(x1)－f(x3)，∴f(x1)＋f(x3)0，同理，f(x1)＋f(x2)0，f(x2)＋f(x3)0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)0.5．已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M、N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析：选A.由已知得a0，b0,0ab1，于是M＝11＋a＋11＋b＝bb＋ab＋aa＋abbb＋1＋aa＋1＝N，故选A.6.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V2为大球内、小球外的部分(图中黑色部分)的体积，则下列关系式中正确的是()A．V1V2B．V2V2C．V1V2D．V1V2解析：选D.由题意知，大球半径与小球半径之比为2∶1，设大球半径为R，则小球半径为R2，V2＝43πR3－4×43π·(R2)3＋V1＝23πR3＋V1，所以V2－V1＝23πR30，所以V2V1，故选D.7．(2010年高考辽宁卷)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．解析：设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，用心爱心专心3则m＋n＝2m－n＝－3，解得m＝－12n＝52.又∵－2＜－12(x＋y)＜12，5＜52(x－y)＜152，∴3＜2x－3y＜8.答案：(3,8)8．已知abc，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为______．解析：a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，b2＝a2＋c2＋2ac≥4ac.∵a≠c，∴b2－4ac0.答案：正9．若mn，pq且(p－m)(p－n)0，(q－m)(q－n)0.则m，n，p，q的大小顺序为______．解析：视(p－m)(p－n)0为关于p的二次不等式．∵mn，∴mpn，同理mqn.故mpqn.答案：mpqn10．已知a＋b＞0，比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小．解：ab2＋ba2－(1a＋1b)＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)(1b2－1a2)＝a＋ba－b2a2b2，∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0，∴ab2＋ba2≥1a＋1b.11．已知0＜α＋β＜π2，－π2＜α－β＜π3，求2α，2β，3α－β3的取值范围．解：∵0＜α＋β＜π2，①－π2＜α－β＜π3，②①与②相加得－π2＜2α＜5π6.又∵－π2＜α－β＜π3，∴－π3＜β－α＜π2.③①与③相加得－π3＜2β＜π.又设3α－β3＝m(α＋β)＋n(α－β)＝(m＋n)α＋(m－n)β，∴m＋n＝3，m－n＝－13，∴m＝43，n＝53.用心爱心专心4∴3α－β3＝43(α＋β)＋53(α－β)，而0＜43(α＋β)＜2π3，－5π6＜53(α－β)＜5π9，两式相加得－5π6＜3α－β3＜11π9.12．甲、乙两人沿着同一条路同时从A地出发走向B地，甲用速度v1与v2(v1≠v2)各走路程的一半，乙用速度v1与v2各走全路程所需时间的一半，试判断甲、乙两人谁先到达B地，并证明你的结论．解：乙先到达B地．证明如下：设从A地到B地的总路程为1，则甲走完全路程所用时间t1＝12v1＋12v2＝12v1＋12v2，乙走完全路程所用时间t2＝2v1＋v2，∴t2－t1＝2v1＋v2－(12v1＋12v2)＝4v1v2－v2v1＋v2－v1v1＋v22v1v2v1＋v2＝2v1v2－v21－v222v1v2v1＋v2＝－v1－v222v1v2v1＋v2.∵v1≠v2，v1＞0，v2＞0，∴－v1－v222v1v2v1＋v2＜0，即t1＞t2.甲走完全路程所用时间比乙多，故乙先到达B地．