【优化方案】2014届高考数学62算术平均数与几何平均数课时闯关(含答案解析)

一、选择题1．(2011·高考重庆卷)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5解析：选C.∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1，∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.2．(2013·广东三校联考)已知x0，y0，xlg2＋ylg8＝lg2，则1x＋13y的最小值是()A．2B．22C．4D．23解析：选C.∵xlg2＋ylg8＝lg2x＋lg23y＝lg(2x·23y)＝lg2x＋3y＝lg2，∴x＋3y＝1，∴1x＋13y＝1x＋13y(x＋3y)＝2＋3yx＋x3y≥2＋21＝4，当且仅当3yx＝x3y，即x＝3y＝12时，1x＋13y取得最小值4，故选C.3．设x，y为正数，则(x＋y)(1x＋4y)的最小值为()A．6B．9C．12D．15解析：选B.(x＋y)(1x＋4y)＝4xy＋yx＋5≥24xy·yx＋5＝4＋5＝9，当且仅当4xy＝yx，即2x＝y时，原式最小值为9.4．设ab0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：选D.a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝2，b＝22时取等号．5．(2012·高考湖南卷)已知两条直线l1：y＝m和l2:y＝82m＋1(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，ba的最小值为()A．162B．82C．834D．434解析：选B.数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以ba＝xB－xDxC－xA，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－82m＋1，xB＝2m，xD＝282m＋1，所以ba＝2m－282m＋12－82m＋1－2－m＝2m－282m＋11282m＋1－12m＝2m－282m＋12m－282m＋12m·282m＋1＝282m＋1＋m，由于82m＋1＋m＝82m＋1＋2m＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m＋1＝2m＋12，即2m＋1＝4，m＝32时等号成立，故ba的最小值为272＝82.二、填空题6．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．解析：∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.答案：－27．(2011·高考浙江卷)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：设2x＋y＝t，∴y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，整理得6x2－3tx＋t2－1＝0.关于x的方程有根，因此Δ＝(－3t)2－4×6×(t2－1)≥0，解得－2105≤t≤2105.则2x＋y的最大值是2105.答案：21058．(2012·高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则ba的取值范围是________．解析：由条件可得3·ac＋bc≥5ac＋bc≤4，bc≥eac令ac＝x，bc＝y，则问题转化为约束条件为3x＋y≥5x＋y≤4y≥ex，求目标函数z＝ba＝yx的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C12，72时，zmax＝7，故ba∈[e,7]．答案：[e,7]三、解答题9．求3a－4＋a的取值范围．解：显然a≠4，当a4时，a－40，∴3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4≥23a－4×a－4＋4＝23＋4，当且仅当3a－4＝a－4，即a＝4＋3时，取等号；当a4时，a－40，∴3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4＝－[34－a＋(4－a)]＋4≤－234－a×4－a＋4＝－23＋4，当且仅当34－a＝4－a，即a＝4－3时取等号．∴3a－4＋a的取值范围是(－∞，－23＋4]∪[23＋4，＋∞)．10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc＞3.证明：左式＝(ba＋ab)＋(cb＋bc)＋(ac＋ca)－3.∵a，b，c为不全相等的正数，∴ba＋ab≥2，cb＋bc≥2，ac＋ca≥2，且等号不同时成立．∴(ba＋ab)＋(cb＋bc)＋(ac＋ca)－3＞3，即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc＞3.11．(探究选做)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告的面积最小？解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a0，b0.则广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a·40b＝18500＋21000ab＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500.故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．