【免金币】高中数学抛物线焦点弦结论探究

抛抛物物线线焦焦点点弦弦结结论论探究授课蒲蒲海海凤凤点点评评杜杜永永来来一、课堂实录[[引引言言]]抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦是是抛抛物物线线研研究究的的一一个个重重要要方方面面，，它它具具有有许许多多优优美美的的结结论论，，这这节节课课我我们们将将由由课课本本的的一一道道习习题题出出发发，，通通过过55次次观观察察联联想想，，多多次次的的猜猜想想、、验验证证、、证证明明，，探探索索出出抛抛物物线线的的一一类类结结论论，，结结论论固固然然重重要要，，但但所所用用的的探探究究过过程程本本身身给给我我们们的的启启发发更更为为深深刻刻。。基基本本探探究究[[投投影影]]〈〈引引例例〉〉：过过抛抛物物线线)0(22ppxy的的焦焦点点ＦＦ的的直直线线与与抛抛物物线线相相交交于于AA、、BB两两点点，，自自AA、、BB向向准准线线作作垂垂线线，，垂垂足足分分别别为为1A、、2A，，求求证证：：9011FBA师师：：这这是是课课本本中中的的一一道道习习题题高高二二上上册册PP113333复复习习参参考考题题BB组组第第22题题，，同同学学们们应应该该很很快快给给出出证证明明思思路路。。生生11：：要要证证明明11FBA是是直直角角，，因因为为FA1和和FB1斜斜率率都都存存在在，，只只需需证证明明斜斜率率相相乘乘得得--11即即可可，，设设),(),,(2211yxByxA，，),,2(),,2(2111ypBypA可可求求得得22121.pyykk，，其其中中21yy由由直直线线AB和和抛抛物物线线方方程程联联立立可可求求得得。。师师：：好好，，思思路路非非常常清清晰晰。。生生22：：由由抛抛物物线线定定义义知知AFAA1BFBB1则则11AFAFAA11BFBFBB，，又又FOAFAA11FOBFBB11，，则则90211AFBFOAFOB师师：：这这位位同同学学注注意意到到图图形形中中几几何何关关系系，，给给出出了了一一个个更更为为简简单单的的证证法法，，我我们们把把这这一一结结论论归归纳纳为为：：结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。11．．观观察察联联想想11师师：：我我们们要要从从这这个个问问题题出出发发进进行行观观察察联联想想，，如如果果观观察察结结论论你你能能联联想想到到什什么么？？（（学学生生思思考考））生生：：射射影影定定理理。。师师；；说说说说看看得得到到什什么么结结论论？？生生：：由9011FBA知是直角三角形且11BAFK由射影定理得，因21,yy异号，所以221pyy师师：：对对于于这这个个同同学学推推出出的的结结论论我我们们也也并并不不陌陌生生，，只只是是以以前前的的证证明明方方法法不不一一样样，，以以前前我我们们是是用用什什么么方方法法得得到到这这一一结结论论的的？？生生：：设设出出两两交交点点坐坐标标),(),,(2211yxByxA直直线线AABB方方程程与与抛抛物物线线方方程程联联立立消消去去x或或y得得到到一一个个一一元元二二次次方方程程，，利利用用韦韦达达定定理理得得到到两两根根之之积积，，证证得得其其中中一一个个结结论论，，再再由由两两点点在在直直线线上上得得另另一一结结论论。。师师；；这这两两种种方方法法证证得得高高二二上上册册PP11１１９９第第７７题题的的结结论论将将其其概概括括为为结论2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数42p和2p。22．．观观察察联联想想22师师：：在在回回到到结结论论11，，注注意意到到直直角角三三角角形形与与圆圆有有着着密密切切的的关关系系，，由由结结论论11发发现现点点F在在以以为为11BA为为直直径径的的圆圆上上，，观观察察图图形形特特征征不不难难发发现现直直线线11,BBAA是是圆圆1M的的切切线线，，那那焦焦点点弦弦AB与与圆圆又又是是什什么么位位置置关关系系呢呢？？[[投投影影]]生生：：好好像像相相切切……师师：：同同学学们们猜猜测测是是相相切切的的关关系系，，我我们们可可以以考考虑虑特特殊殊情情况况，，当当焦焦点点弦弦变变为为通通径径时时很很明明显显结结论论是是正正确确的的，，证证实实了了我我们们的的猜猜想想，，那那么么一一般般的的焦焦点点弦弦该该如如何何证证明明呢呢？？同同学学们们可可以以互互相相讨讨论论一一下下。。生生11：：既既然然点点FF在在圆圆上上，，只只需需证证明明ABFM1，，设设KBKAFK112212yyp44)(2221212ppyyxx所所以以，，以以11BA为为直直径径的的圆圆与与AABB相相切切于于点点FF。。生生22：：我我是是用用几几何何的的方方法法，，由由抛抛物物线线定定义义AFAA1知知11AFAFAA，，又又1111FAMFAM所所以以90111MAAFAM师师：：同同学学们们观观察察的的非非常常好好，，这这两两个个方方法法共共同同证证明明了了以以下下的的结结论论结论3以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。33．．观观察察联联想想33师师；；抛抛物物线线和和圆圆是是解解析析几几何何中中既既重重要要又又活活泼泼的的两两个个元元素素，，我我们们应应该该让让它它们们成成为为亲亲密密的的合合作作伙伙伴伴。。由由于于准准线线与与焦焦点点弦弦的的伴伴随随性性，，受受联联想想22的的启启发发，，如如果果以以焦焦点点弦弦为为直直径径画画圆圆，，观观察察该该圆圆与与准准线线又又有有怎怎样样的的位位置置关关系系？？[[投投影影]]生生：：相相切切！！则则该该圆圆与与准准线线相相切切于于点点1M。。师师：：我我们们不不但但证证明明了了该该圆圆与与准准线线相相切切，，而而且且证证明明了了切切点点即即为为11BA的的中中点点，，将将其其归归纳纳为为)22),2(),,2(2112111yyPMyPByPA，（则pyyppyykFM222221211212221212121222yyppypyyyxxyykABABFMkkFMAB，即111111,,BBAABFAFABBBBFAAAF而ABBBAAMM21)(21111结论４以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。44．．观观察察联联想想44[[投投影影]]师师；；由由上上一一结结论论，，当当焦焦点点弦弦变变为为抛抛物物线线通通径径时时不不仅仅有有BKAK，，而而且且有有45BKFAKF，，再再一一次次把把通通径径淡淡化化为为一一般般的的焦焦点点弦弦时时，，画画出出几几个个图图形形观观察察AAKK与与BBKK的的垂垂直直和和平平分分的的关关系系是是否否还还能能保保持持不不变变？？（（学学生生画画图图纠纠正正抛抛物物线线作作图图的的错错误误））师师：：有有的的同同学学们们研研究究不不出出结结论论是是因因为为图图形形画画的的不不准准确确，，我我们们应应该该注注意意课课本本中中给给出出的的做做抛抛物物线线简简图图的的方方法法，，力力求求将将图图做做的的准准确确，，便便于于我我们们发发现现结结论论。。生生11：：我我通通过过作作图图发发现现垂垂直直关关系系不不一一定定成成立立，，但但平平分分关关系系似似乎乎保保持持不不变变。。师师：：好好！！这这位位同同学学给给了了我我们们一一个个猜猜想想，，下下面面同同学学们们的的任任务务就就是是证证明明这这个个猜猜想想。。（（学学生生讨讨论论思思路路））生生22：：根根据据这这两两条条直直线线的的位位置置关关系系，，可可以以证证明明它它们们的的斜斜率率互互为为相相反反数数。。师师：：思思路路非非常常清清晰晰，，找找同同学学们们上上来来板板演演，，其其它它同同学学一一起起做做。。[[板板演演过过程程]]结论５抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。55．．观观察察联联想想55),2(),,2(222121ypyBypyA证明：设22121222pypyppyykAK则22222pypykBK同理：))(())((222222122121pypypyyyypkkBKAK[[投投影影]]师师：：再再回回到到第第一一个个图图形形，，连连接接AAOO后后有有什什么么特特征征呢呢？？过过原原点点吗吗？？这这一一猜猜想想可可由由这这一一猜猜想想可可由由高二上册Ｐ１２３第６题得得证证，，可可将将其其叙叙述述为为结论６抛物线焦点弦的一个端点和准线上一点的连线过抛物线顶点，则该弦的另一端点和准线上这一点的连线平行抛物线的对称轴．师师：：：下下面面对对这这节节课课的的主主要要内内容容进进行行一一下下小小结结。。[[投投影影]]小小结结1、本节课主要探究了抛物线焦点有关结论：结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。结论２抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数42p和2p。结论３以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。结论４以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。结论５抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。结论６抛物线焦点弦的一个端点和准线上一点的连线过抛物线顶点，则该弦的另一端点和准线上这一点的连线平行抛物线的对轴。2、体会由特殊到一般研究结论再应用到特殊继续探究结论的方法。师师：：我我们们要要将将这这种种探探究究的的思思想想应应用用到到以以后后的的学学习习中中，，探探索索出出更更多多更更优优美美的的结结论论，，下下面面给给出出两两个个继继续续探探究究的的题题目目，，以以供供同同学学们们课课下下思思考考。。[[投投影影]]继继续续探探究究１）结论２中条件是否为充要？２）结论６中条件是否为充要？（２００１年高考）二、点评这节课内容是过抛物线焦点弦的有关结论的探究，是从课本一道习题引发思考，通过五次观察联想探究得出过抛物线焦点弦的更多的特性和结论。本人认为这节课取得了较好的教学效果，采用了探究式教学方法，是一节具有推广价值的创新课。BKFAKF即0221BKABkkpyy1、授课教师备课认真，定位准确，备课教案结构严紧，从课本习题出发进行探究问题，体现了原于课本又高于课本的思想，由于授课教师备课充分，善于抓住问题提出问题，并创设情景，引发学生对问题探究的积极性，难度把握适当，引导学生对问题的研究逐步深化，点拨得当，师生关系具有较好的体现，不是单单体现老师在讲，而是更多的体现老师在引、在导，教学过程体现了学生学习的主动性和积极性。2、教学过程符合学生的认知规律，符合由浅入深、由表及里的探究规律，也符合学生的心理活动规律。本节课紧紧抓住了抛物线的焦点弦的特殊情况为“通径”这个主要结论，通过这一特殊情形进一步发现归纳一般的结论，并进行严格的证明，体现了问题规律发现的过程，使学生体会到从特殊到一般的事物发现的辨证规律及学习方法，探究过程并未到此而止，又将所得结论特殊化猜想其它结论，这样将探究活动进行的更加充分。3、教师自信，课上全身心的投入教学，启发得当，具有较好的驾驭课堂的能力，由一题引发五次观察联想，首先营造了研究的氛围，遵循了思维的规律，也体现了思维的层次性，进一步引发思维发散，使学生能够发现探究更多的未知的东西，语言流畅，板书清晰整洁，重点突出，启发过程中所做的铺垫较好，具有较好的节奏感，方向目标明确，注意到思维的设定和及时总结，最后的探究思考题目可以引发学生更大的想象空间，而且又与高考接轨，更好的体现探究的延续。4．本节课学生是在老师的引导下进行的探究，因为在进行观察联想的环节，学生的思路会很宽泛，但考虑到如果让学生自由探究可能会提出很多问题，要对学生提出的问题进行分类再确定研究的中心问题，一节课要探究清楚可能性不大，时间也不够。所以教师在教学中启发学生的活动方向，围绕一个中心问题进行探讨。在教学过程中，师生用观察、实验、分析等方法来进行探究活。