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13.2导数的应用考点一导数与函数的单调性1.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()答案B2.(2013天津,20,14分)设a∈[-2,0],已知函数f(x)=(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x3≠0.证明x1+x2+x3-.证明(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3-x2+ax(x≥0),①f'1(x)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],从而当-1x0时,f'1(x)=3x2-(a+5)3-a-5≤0,所以函数f1(x)在区间(-1,0]内单调递减.②f'2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0],所以当0x1时,f'2(x)0;当x1时,f'2(x)0.即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.综合①,②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.(2)由(1)知f'(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增.因为曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f'(x1)=f'(x2)=f'(x3).不妨设x10x2x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=,从而0x2x3.设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则gg(x2)g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)a,解得-x10,所以x1+x2+x3-+,设t=,则a=,因为a∈[-2,0],所以t∈,故x1+x2+x3-t+=(t-1)2-≥-,即x1+x2+x3-.3.(2013湖北,21,13分)设a0,b0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(i)判断f(1),f,f是否成等比数列,并证明f≤f;(ii)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),f'(x)==.2当ab时,f'(x)0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增;当ab时,f'(x)0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减.(2)(i)计算得f(1)=0,f=0,f=0,故f(1)f=·=ab=,即f(1)f=.①所以f(1),f,f成等比数列.因为≥,所以f(1)≥f.由①得f≤f.(ii)由(i)知f=H,f=G.故由H≤f(x)≤G,得f≤f(x)≤f.②当a=b时,f=f(x)=f=a.这时,x的取值范围为(0,+∞);当ab时,01,从而,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,即x的取值范围为;当ab时,1,从而,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,得≤x≤,即x的取值范围为.考点二导数与函数的极值与最值4.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案D5.(2013课标全国Ⅰ,20,12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解析(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).6.(2013浙江,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若|a|1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解析(1)当a=1时,f'(x)=6x2-12x+6,所以f'(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f'(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a1时,3x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af'(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a-1时,x0(0,1)1(1,-2a)-2af'(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=考点三导数的综合应用7.(2013课标全国Ⅱ,11,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0答案C8.(2013福建,22,14分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值;(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.解析(1)由f(x)=x-1+,得f'(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则f'(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f'(x)=1-.①当a≤0时,f'(x)0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.②当a0时,令f'(x)=0,得ex=a,x=lna.x∈(-∞,lna),f'(x)0;x∈(lna,+∞),f'(x)0,所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.(3)解法一:当a=1时,f(x)=x-1+.令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+,则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.假设k1,此时g(0)=10,g=-1+0,又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在性定理,可知g(x)=0在R上至少有一解,与“方程g(x)=0在R上没有实数解”矛盾,故k≤1.又k=1时,g(x)=0,知方程g(x)=0在R上没有实数解.所以k的最大值为1.解法二:当a=1时,f(x)=x-1+.4直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于关于x的方程kx-1=x-1+在R上没有实数解,即关于x的方程(k-1)x=(*)在R上没有实数解,①当k=1时,方程(*)可化为=0,在R上没有实数解.②当k≠1时,方程(*)可化为=xex.令g(x)=xex,则有g'(x)=(1+x)ex.令g'(x)=0,得x=-1,当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘-↗当x=-1时,g(x)min=-,同时当x趋于+∞时,g(x)趋于+∞,从而g(x)的取值范围为.所以当∈时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围为(1-e,1).综合①②,得k的最大值为1.9.(2013辽宁,21,12分)(1)证明:当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x;(2)若不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)证明:记F(x)=sinx-x,则F'(x)=cosx-.当x∈时,F'(x)0,F(x)在上是增函数;当x∈时,F'(x)0,F(x)在上是减函数.又F(0)=0,F(1)0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥x.(3分)记H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H'(x)=cosx-10,所以,H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.综上,x≤sinx≤x,x∈[0,1].(5分)(2)解法一:因为当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≤(a+2)x+x2+-4(x+2)=(a+2)x,所以,当a≤-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立.(9分)下面证明,当a-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.因为当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≥(a+2)x+x2+-4(x+2)=(a+2)x-x2-≥(a+2)x-x2=-x.所以存在x0∈(0,1)例如x0取和中的较小值满足ax0+++2(x0+2)cosx0-40,即当a-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx-4≤0对x∈[0,1]不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-∞,-2].(12分)5解法二:记f(x)=ax+x2++2(x+2)cosx-4,则f'(x)=a+2x++2cosx-2(x+2)sinx.记G(x)=f'(x),则G'(x)=2+3x-4sinx-2(x+2)cosx.当x∈(0,1)时,cosx.因此G'(x)2+3x-4·x-(x+2)=(2-2)x0.于是f'(x)在[0,1]上是减函数,因此,当x∈(0,1)时,f'(x)f'(0)=a+2,故当a≤-2时,f'(x)0,从而f(x)在[0,1]上是减函数,所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立.(9分)下面证明,当a-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.f'(x)在[0,1]上是减函数,且f'(0)=a+20,f'(1)=a++2cos1-6sin1.当a≥6sin1-2cos1-时,f'(1)≥0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)0.因此f(x)在[0,1]上是增函数,故f(1)f(0)=0;当-2a6sin1-2cos1-时,f'(1)0,又f'(0)0,故存在x0∈(0,1)使f'(x0)=0,则当0xx0时,f'(x)f'(x0)=0,所以f(x)在[0,x0]上是增函数,所以当x∈(0,x0)时,f(x)f(0)=0.所以,当a-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.综上,实数a的取值范围是