【四川专用(理)】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】32导数的应用(一)

3.2导数的应用（一）一、选择题1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()．A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案D2．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()．A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－12解析由y＝4x2＋1x得y′＝8x－1x2，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增．答案B3．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数解析：由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．答案：C4．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()．A．eB．－eC.1eD．－1e解析设(x0，lnx0)是曲线y＝lnx与直线y＝kx的切点，由y′＝1x知y′|x＝x0＝1x0由已知条件：lnx0x0＝1x0，解得x0＝e，k＝1e.答案C5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1a处有极值，则ab的值为()A．2B．－2C．3D．－3解析f′(x)＝3ax2＋b，由f′1a＝3a1a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.答案D6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()．A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)解析不等式(x－1)f′(x)≥0等价于x－1≥0，fx或x－1≤0，fx可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．答案C7．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0，则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1.答案B二、填空题8．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)·(x＋1)．令f′(x)0，即(ex＋1)(x＋1)0，解得x－1.所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)9．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，当x∈(0,2)时，f′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，显然当x＝2时f(x)取极小值．答案210．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，∴由题意知5ax4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案(－∞，0)11．函数f(x)＝xax－x2(a0)的单调递减区间是________．解析由ax－x2≥0(a0)解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝3ax－4x22ax－x2＝－2xx－3a4ax－x2，由f′(x)0解得x≥3a4，因此f(x)的单调递减区间是3a4，a.答案3a4，a12．已知函数f(x)＝x2(x－a)．若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________；若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________．解析由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－2a3.若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a3≠0，22a33，解得：3a92.答案(－∞，3]∪92，＋∞，3，92三、解答题13.已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．解析(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋bx.又函数f(x)在x＝1处有极值12，所以f＝0，f＝12.即2a＋b＝0，a＝12，解得a＝12，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝12x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－1x＝x＋x－x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．14．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)0，得exa，当a≤0时，有f′(x)0在R上恒成立；当a0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．15．已知函数f(x)＝x3－ax－1(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．解析(1)f′(x)＝3x2－a由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x23因此a≥3函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．16．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2fx＋m2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解析(1)根据题意知，f′(x)＝a－xx(x＞0)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)∵f′(2)＝－a2＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3.∴g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴gt＜0，g＞0.由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴g＜0，g＜0，g＞0，∴－373＜m＜－9.【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；第二步：求函数fx的导数fx；第三步：求方程fx＝0的根；第四步：利用fx＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步：由fx在小开区间内的正、负值判断fx在小开区间内的单调性；第六步：明确规范表述结论.