【四川专用(理)】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】2.3

§2.3函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．答案13解析由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝13.2．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.答案－9解析令g(x)＝f(x)－1＝x3cosx，∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)，∴g(x)为定义在R上的奇函数．又∵f(a)＝11，∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10.又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________．答案(－1,0)∪(1，＋∞)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．4．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数答案D解析因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(2＋x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(－2＋x)，于是f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期T＝4的周期函数．所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．5．(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52等于()A．－12B．－14C.14D.12答案A解析∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f－52＝f－52＋2＝f－12＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解(1)由{9－x2≥x2－9≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥＋x≠0，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由{4－x2≥x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．下列函数：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)；④f(x)＝3x－3－x2；⑤f(x)＝lg1－x1＋x.其中奇函数的个数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1既是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋x2＋1x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋x2＋1)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋－x2＋1)＝ln1x＋x2＋1＝－ln(x＋x2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；④f(x)＝3x－3－x2的定义域为R，又f(－x)＝3－x－3x2＝－3x－3－x2＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由1－x1＋x0得－1x1，f(x)＝ln1－x1＋x的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，∴奇函数的个数为5.题型二函数的奇偶性与周期性例2设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．思维启迪：(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.探究提高判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.答案2.5解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋2＝－1－1fx＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f(π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．探究提高函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想．(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)f(11)f(80)B．f(80)f(11)f(－25)C．f(11)f(80)f(－25)D．f(－25)f(80)f(11)答案D解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)f(80)f(11)．(2)函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．解∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且由f(1)＝0得f(－1)＝0.若f[x(x－12)]0＝f(1)，则xx－12xx－121即0x(x－12)1，解得12x1＋174或1－174x0.若f[x(x－12)]0＝f(－1)，则xx－12xx－12－1由x(x－12)－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12x1＋174或1－174x0}．1.等价转换要规范典例：(12