【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第16讲立体几何综合问题(含详解)

1立体几何综合问题题型预测立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。范例选讲例1．如图，已知PA面ABC，BCAD于D，1ADCDBC。（1）令xPD，BPC，试把tan表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得BACBQC？讲解（1）为寻求tan与x的关系，首先可以将转化为PBDPCD。∵PA面ABC，BCAD于D，∴BDPD。∴2tan,tanxBDPDPBDxDCPDPCD。∴tan2212tan2xxxxxxPBDPCD。∵AD为PD在面ABD上的射影。∴1ADPD，即1x。∴tan422212122xxxx。即tan的最大值为42，等号当且仅当2x时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得tanBACBQCtan。31tantanABDACDBAC。ABDPC2令tan22xx31，解得：21x，与1x交集非空。∴满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例2．如图所示：正四棱锥ABCDP中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为26。（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解：（1）连BDAC,交于点O，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=26。设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=23。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。在RtPFO中，3tanFOPOPFO，∴3PFO。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为3（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EO//PD21。∴EOD就是异面直线PD与AE所成的角。在RtPDO中，2522POODPD。∴45EO。ABCDPE3由BDAO，POAO可知：AO面PBD。所以，EOAO。在RtAOE中，5102tanEOAOAEO。∴异面直线PD与AE所成的角为5102arctan。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面PBC的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：PBCPFO面面。延长FO交BC于点G，连接PG。设H为PG中点，连接GHEH,。∵四棱锥ABCDP为正四棱锥且F为AD中点，所以，G为BC中点，∴PGBC，FGBC。∴PFGBC面。∴面PBC⊥PFG面。∵PGPF，3PFO，∴PFG为正三角形。∴PGFH，∴PBCFH面。取AF中点为K，连EK，则由FKHE//及FKHE得四边形HEKF为平行四边形，所以，FHKE//。∴PBCKE面。点评开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。ABCDOPEFGHK