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智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩【考点训练】两点间的距离公式-1一、选择题（共5小题）1．已知点A的坐标为（﹣3，4），则A点到原点O的距离为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．52．如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．73．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）4．（2006•厦门）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．35．在坐标轴上与点M（3，﹣4）距离等于5的点共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2007•宝山区一模）已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为：_________．7．（2006•虹口区一模）已知在y轴的正半轴上有一点P，它与点（﹣3，2）的距离是5，那么点P的坐标是_________．8．（2005•上海模拟）在平面直角坐标系中，点A（5，﹣2）与点B（2，2）的距离是_________．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2011•峨眉山市二模）（1）在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，我们称A的坐标为3，B的坐标为﹣2；那么A、B的距离AB=_________；一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=_________；（2）如图，在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），求P1、P2的距离P1P2；（3）如图，△ABC中，AO是BC边上的中线，利用（2）的结论证明：AB2+AC2=2（AO2+OC2）．智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩．（2009•滨州）根据题意，解答下列问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩【考点训练】两点间的距离公式-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．已知点A的坐标为（﹣3，4），则A点到原点O的距离为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5考点：两点间的距离公式．1528832分析：易得点A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可．解答：解：点A的坐标为（﹣3，4）到原点O的距离：OA==5，故选D．点评：本题主要利用了“平面内一点到原点的距离等于其横纵坐标的平方和的算术平方根”这一知识点．2．如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．7考点：两点间的距离公式．1528832分析：根据点在平面直角坐标系中的坐标的几何意义，及两点间的距离公式便可解答．解答：解：∵点M的坐标为（﹣3，4），∴点M离原点的距离是=5．故选C．点评：本题主要考查了坐标到原点的距离与横纵坐标之间的关系及两点间的距离公式．3．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）考点：两点间的距离公式．1528832分析：应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据点P到坐标轴的距离，到原点的距离判断具体坐标．解答：解：∵点P在第三象限内，∴点P的横纵坐标的符号为（﹣，﹣），∵P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，∴可设P的横坐标为x，纵坐标为2x，∵点P到原点的距离为，智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩∴x2+（2x）2=5，∴x=±1，∴x=﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）．故选C．点评：本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；点到原点的距离与点的横纵坐标的绝对值组成直角三角形．4．（2006•厦门）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：两点间的距离公式．1528832专题：压轴题；新定义．分析：对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC|+|CB|=|AB|成立．成立故正确．对于②平方后不能消除x0，y0，命题不成立；对于③在△ABC中，用坐标表示|AC|+|CB|然后根据绝对值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案．解答：解：对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则|AC|+|CB|=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=|AB|成立，故①正确．对于②平方后不能消除x0，y0，命题不成立；对于③在△ABC中，|AC|+|CB|=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=|AB|．③不一定成立∴命题①成立，故选：B．点评：此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．本题的易错点在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘记等号也可以成立．5．在坐标轴上与点M（3，﹣4）距离等于5的点共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个考点：两点间的距离公式．1528832分析：符合题意的点即在以M为圆心，5为半径画圆上，找圆与坐标轴的交点即可．解答：解：在坐标轴上与点M（3，﹣4）距离等于5的点在以M为圆心，5为半径画圆上，而圆与坐标轴的交点为（0，0），（0，﹣8），（6，0），共3个，故选B．点评：本题主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用，要把点的坐标和图形有机结合起来求解．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2007•宝山区一模）已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为：（0，5）．考点：两点间的距离公式．1528832专题：计算题．分析：首先根据点B在y轴正半轴上设点B的坐标为（0，x），根据两点间的距离公式列出一元二次方程解得即可．解答：解：∵点B在y轴正半轴上，设点B的坐标为（0，x），AB=5，智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩∴=5，解得x=5或﹣3，∵点B在y轴正半轴上，∴x=5．故答案为（0，5）．点评：本题主要考查两点间的距离公式，根据两点间的距离公式列出一元二次方程并解答是解答本题的关键．7．（2006•虹口区一模）已知在y轴的正半轴上有一点P，它与点（﹣3，2）的距离是5，那么点P的坐标是（0，6）．考点：两点间的距离公式．1528832专题：计算题．分析：根据题意设P（0，y）（y＞0），然后利用两点间的距离公式d=填空．解答：解：∵在y轴的正半轴上有一点P，∴设P（0，y）（y＞0），又∵点P与点（﹣3，2）的距离是5，∴=5，解得，y1=6，y2=﹣2（不合题意，舍去）；∴点P的坐标是（0，6）．故答案是：（0，6）．点评：本题考查了两点间的距离公式．解答此题时需要注意点P的纵坐标的取值范围：y＞0（因为点P在y轴的正半轴）．8．（2005•上海模拟）在平面直角坐标系中，点A（5，﹣2）与点B（2，2）的距离是5．考点：两点间的距离公式．1528832专题：计算题．分析：根据两点间的距离公式d=代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵点A（5，﹣2）、点B（2，2），∴d====5．故答案为：5．点评：本题考查了两点间的距离的求解，比较简单，熟记两点间的距离公式是解题的关键．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2011•峨眉山市二模）（1）在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，我们称A的坐标为3，B的坐标为﹣2；那么A、B的距离AB=5；一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=|x1﹣x2|；（2）如图，在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），求P1、P2的距离P1P2；（3）如图，△ABC中，AO是BC边上的中线，利用（2）的结论证明：AB2+AC2=2（AO2+OC2）．智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩考点：两点间的距离公式．1528832专题：探究型．分析：（1）直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答；（2）根据坐标系内两点间的距离公式进行解答；（3）分别设出A、B、C三点的坐标，再根据两点间的距离公式得出AB2+AC2及AO2+OC2的值，进而可得出结论．解答：解：（1）∵在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，∴A、B的距离AB=|﹣2﹣3|=5，∴一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=|x1﹣x2|；（2）∵在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），∴P1P2=；（3）设A（a，d），C（c，0）∵O是BC的中点，∴B（﹣c，0）∴AB2+AC2=（a+c）2+d2+（a﹣c）2+d2=2（a2+c2+d2），AO2+OC2=a2+d2+c2，∴AB2+AC2=2（AO2+OC2）．点评：本题考查的是两点间的距离公式，在解答（3）时要注意AO是BC边上的中线，据此设出B、C两点的坐标，以简化计算．10．（2009•滨州）根据题意，解答下列问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．考点：两点间的距离公式．1528832专题：计算题；证明题．分析：（1）根据直线y=2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y=0，求得x的值；与y轴相交时，x=0，智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩的值；（2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P1P2的值．解答：（1）解：由y=0，得x=﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA=2．（1分）同理可得OB=4．（2分）所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）（2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．（4分）则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．（5分）故PM=4﹣（﹣1）=5，PN=3﹣（﹣2）=5．（6分）所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）（注：若