【成才之路】2012-2013高中数学3-2-1第1课时均值不等式同步检测新人教B版必修5

13.2第1课时均值不等式基础巩固一、选择题1．若x∈R，则下列不等式成立的是()A．lg(x2＋1)≥lg2xB．x2＋12xC.1x2＋11D．2x≤x＋22[答案]D[解析]A中，x≤0时，不等式不成立；B中x＝1时，不等式不成立；C中x＝0时，不等式不成立，故选D.2．下列函数中，最小值为4的是()A．f(x)＝x＋4xB．f(x)＝2×x2＋5x2＋4C．f(x)＝3x＋4×3－xD．f(x)＝lgx＋logx10[答案]C[解析]A、D选项中，不能保证两数为正，排除；B选项不能取等号，f(x)＝2×x2＋5x2＋4＝2×x2＋4＋1x2＋4＝2×(x2＋4＋1x2＋4)≥4，要取等号，必须x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1，这是不可以的，排除．故选C.3．(2011·陕西文)设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b[答案]B[解析]∵0ab，∴aa＋b2b，A、C错误；ab－a＝a(b－a)0，即aba，故选B.4．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为()A．10B．63C．46D．183[答案]D[解析]x＋y＝5,3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183.5．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()2A.25B.12C.22D．1[答案]B[解析]本题考查均值不等式求最值，注意均值不等式求最值时必须具备的三个条件：一正、二定、三相等．∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴当x＝0时，f(0)＝0.当x0时，f(x)＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时f(x)取最大值12.6．若x4，则函数y＝x＋1x－4()A．有最在值－6B．有最小值6C．有最大值－2D．有最小值2[答案]B[解析]∵x4，∴x－40，∴y＝x－4＋1x－4＋4≥2x－1x－4＋4＝6.当且仅当x－4＝1x－4，即x－4＝1，x＝5时，取等号．二、填空题7．设实数a使a2＋a－20成立，t0，比较12logat与logat＋12的大小，结果为________________．[答案]12logat≤logat＋12[解析]∵a2＋a－2＞0，∴a＜－2或a＞1又a＞0且a≠1，∴a＞1∵t＞0，∴t＋12≥t，∴logat＋12≥logat＝12logat，∴12logat≤logat＋128．函数y＝x·(3－2x)(0≤x≤1)的最大值为______________．3[答案]98[解析]∵0≤x≤1∴3－2x＞0∴y＝122x·(3－2x)≤12[2x＋－2x2]2＝98，当且仅当2x＝3－2x即x＝34时，取“＝”号．三、解答题9．已知：a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，13的大小．[解析]∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc①∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.①式两边分别加入a2＋b2＋c2得：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥13，3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，∴ab＋bc＋ca≤13.综上知，a2＋b2＋c2≥13≥ab＋bc＋ca.10．求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)的最小值．[解析]∵x1，∴x＋10..∵y＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋2＋x＋＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2x＋1x＋1＋5＝9当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，等号成立．∴当x＝1时，函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)，取得最小值为9.能力提升一、选择题1．设x＋3y＝2，则函数z＝3x＋27y的最小值是()A.23B．22C．3D．64[答案]D[解析]∵x＋3y＝2，∴x＝2－3y.∴z＝3x＋27y＝32－3y＋27y＝927y＋27y≥2927y·27y＝6，当且仅当927y＝27y，即27y＝3，∴33y＝3，∴3y＝1，∴y＝13.即x＝1，y＝13时，x＝3x＋27y取最小值6.2．若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则()A．RPQB．PQRC．QPRD．PRQ[答案]B[解析]由a＞b＞1，得lga＞lgb＞0，Q＝12(lga＋lgb)＞lga·lgb＝P，R＝lg(a＋b2)＞lgab＝12(lga＋lgb)＝Q，∴R＞Q＞P.二、填空题3．已知a0，b0，a＋b＋3＝ab，则a＋b的最小值为________．[答案]6[解析]∵ab，b0，a＋b＋3＝ab，∴a＋b＋3＝ab≤(a＋b2)2，∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，∴a＋b≥6.4．函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn0)上，则1m＋1n的最小值为________．[答案]4[解析]函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.又mn0，∴1m＋1n＝(1m＋1n)·(m＋n)＝2＋(nm＋mn)≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝12时，等号成立．5三、解答题5．已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝－1，求1a＋1b＋1c的最大值．[解析]∵a0，b0，c0且a＋b＋c＝－1，∴1a＋1b＋1c＝－a＋b＋ca＋－a＋b＋cb＋－a＋b＋cc＝－3－(ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc)≤－3－(2＋2＋2)＝－9.当且仅当a＝b＝c＝－13时，等号成立．6．设a≥0，b≥0，a2＋b22＝1，求a1＋b2的最大值．[解析]∵a2＋b22＝1，∴a2＋1＋b22＝32，a1＋b2＝2·a·1＋b22≤2·a2＋1＋b222＝2·322＝324.∴当a2＋b22＝1且a＝1＋b22，即a＝22，b＝63时，a1＋b2的最大值为324.7．甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪一家公司平均成本低？请给出证明．[解析]设第一、二次购芯片的价格分别是每片a元和b元，那么甲公司两次购芯片的平均价格为a＋b20000＝a＋b2，乙公司两次购芯片的平均价格为2000010000a＋10000b＝21a＋1b.∵a0，b0，a≠b，∴a＋b2ab.又1a＋1b21ab＝2ab，6∴21a＋1bab.∴a＋b221a＋1b.∴乙公司的平均成本低．