【成才之路】2012-2013高中数学3-5-2第2课时简单的线性规划的概念同步检测新人教B版必修5

13.5第2课时简单的线性规划的概念基础巩固一、选择题1．设G是平面上以A(2,1)、B(－1，－4)、C(－2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)，点(x，y)在G上变动，f(x，y)＝4x－3y的最大值为a，最小值为b，则a＋b的值为()A．－1B．－9C．13D．－6[答案]D[解析]设4x－3y＝c，则3y＝4x－c，∴y＝43x－c3，－c3表示直线l：4x－3y＝c在y轴上的截距，∵kAB＝53，而kl＝43，∴l过C(－2,2)时，－c3有最大值；－c3＝2－43×(－2)＝143，∴cmin＝b＝－14，l过B(－1，－4)时，－c3有最小值；－c3＝－4－43×(－1)＝－83，∴cmax＝a＝8，∴a＋b＝－6.2．若不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()2A.73B.37C.43D.34[答案]A[解析]不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M(12，52)．当y＝kx＋43过点(12，52)时，52＝k2＋43，∴k＝73.3．(2011·天津文)设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4B．0C.43D．4[答案]D[解析]x≥1，x＋y－4≤0x－3y＋4≤0，表示的平面区域如图所示．3z＝3x－y在(2,2)取得最大值．zmax＝3×2－2＝4.4．已知x，y满足约束条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝2x＋4y的最小值为()A．5B．－6C．10D．－10[答案]B[解析]可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－x2＋z4经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.5．(2011·安徽文)设变量x，y满足x＋y≤1x－y≤1x≥0，则x＋2y的最大值和最小值分别为()A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－1[答案]B[解析]4画出可行域为图中阴影部分．作直线l：x＋2y＝0，在可行域内平移l当移至经过点A(0,1)时取最大值zmax＝x＋2y＝2当移至经过点B(0，－1)时取最大值zmin＝x＋2y＝－2.6．(2009·浙江)若实数x，y满足不等式组x＋y≥2，2x－y≤4，x－y≥0.则2x＋3y的最小值是()A．13B．15C．15D．28[答案]A[解析]作出可行域如图所示，令z＝3x＋4y∴y＝－34x＋z4求z的最小值，即求直线y＝－34x＋z4截距的最小值．经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．∴zmin＝9＋4＝13.二、填空题57．设a＞0.点集S内的点(x，y)满足下列所有条件：①a2≤x≤2a，②a2≤y≤2a，③x＋y≥a，④x＋a≥y，⑤y＋a≥x.那么S的边界是一个________边形(填边数)．[答案]6[解析]首先由a2≤x≤2aa2≤y≤2a围成正方形ABCD，又结合x－y≥－ax－y≤a位于二平行直线l1x－y＝－a和l2x－y＝a之间．再结合，x＋y≥a可知．围成的区域是多边形APQCRS.它是一个六边形．8．已知变量x、y满足条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，设z＝2x＋y，取点(3,2)可求得z＝8，取点(5,2)可求得zmax＝12，取点(1,1)可求得zmin＝3，取点(0,0)可求得z＝0，点(3,2)叫做________，点(0,0)叫做________，点(5,2)和点(1,1)均叫做________．[答案]可行解，非可行解，最优解．三、解答题9．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，问有多少种买法？[解析]设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则0.8x＋2y≤10.x，y∈Nx≥2，y≥2，即2x＋5y≤25x≥2y≥2x，y∈N∴2≤x≤12,2≤y≤5，6当y＝2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；当y＝3时，2x≤10，∴2≤x≤5有4种；当y＝4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x＝2有一种；当y＝5时，由2x≤0及x≥0知x＝0，故有一种．综上可知，不同买法有：6＋4＋1＋1＝12种．[点评]本题采用的解法是穷举法．也可以画出可行域．数出其中的整点数求解．10．(2011·衡阳高二检测)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≥0x－y≥0x≤a(a为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y的最大值．[解析]由题意得：S＝12×2a×a＝4，∴a＝2.设z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，由y＝x，x＝2，得(2,2)，即z在(2,2)处取得最大值6.能力提升一、选择题1．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(23，45)是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是()7A．(－103，－512)B．(－125，－310)C．(310，125)D．(－125，310)[答案]B[解析]y＝ax－z.在C点取最优解，则一定是z的最小值点，∴－125≤a≤－310.结合选项可知选B.2．(2011·安徽理)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为()A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－1[答案]B[解析]|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．设z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0，把l0向右上和左下平移，易知：当l过点(0,1)时，z有最大值zmax＝0＋2×1＝2；当l过点(0，－1)时，z有最小值zmin＝0＋2×(－1)＝－2.二、填空题3．已知x、y满足条件0≤x≤4，0≤y≤3，x＋2y≤8，则z＝2x＋5y的最大值为________．[答案]19[解析]可行域如图．8当直线y＝－25x＋z5经过直线y＝3与x＋2y＝8交点(2,3)时，z取最大值zmax＝19.4．(2010·陕西理)铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案]15[解析]设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则0.5x＋0.7y≥1.9x＋0.5y≤2x≥0y≥0，目标函数z＝3x＋6y，由0.5x＋0.7y＝1.9x＋0.5y＝2，得x＝1y＝2.可行域如图中阴影部分所示：设P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.9三、解答题5．已知x≥1x－y＋1≤02x－y－2≤0，求x2＋y2的最小值．[解析]画出可行域如下图所示，可见可行域中的点A(1,2)到原点距离最小为d＝5，∴x2＋y2≥5.即x2＋y2的最小值为5.6．若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．[解析]画出可行域如图，目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处取最小值为直线ax＋2y－z＝0过点(1,0)时在y轴上的截距最小，斜率应满足0－a22或－a2－1，即a∈(－4,2)．∴a的取值范围是(－4,2)．10