【成才之路】2014-2015高中数学人教A版第选修1-1同步练习33第3课时函数的最大小值与导数(

选修1-1第三章3.3第3课时一、选择题1．(2014·营口三中期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则a＋b等于()A．2B．3C．6D．9[答案]C[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知x＝1是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＋b＝6.2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A．239B．229C．329D．38[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝33∈[0,1]，∵f33＝239，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝239.3．(2014·河南淇县一中模拟)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－13[答案]B[解析]y′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0－3a1，∴a－3.4．(2014·枣庄市期中)若1、3为函数f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为()A．8B．6C．4D．0[答案]A[解析]f′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1,3是方程f′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3，∴f′(－1)＝8，故选A.5．(2014·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]C[解析]由导函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.6．(2014·河北冀州中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由条件知，方程f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)0，∴a－3或a6，故选B.二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案]4x－y－3＝0[解析]y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．[答案][－1,1][解析]f′(x)＝1＋acosx，由条件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a0时，∵－1a≤cosx恒成立，∴－1a≤－1，∴a≤1，∴0a≤1；a0时，∵－1a≥cosx恒成立，∴－1a≥1，∴a≥－1，即－1≤a0，综上知－1≤a≤1.9．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－12x－12|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.三、解答题10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线方程y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由a＋b＝－2，2a＋b＝0.解得a＝2，b＝－4，∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝23或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，23)23(23，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)8增极大值减极小值增4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f(23)＝9527，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题11．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12；－8B．1；－8C．12；－15D．5；－16[答案]A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.12．(2014·开滦二中期中)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，12)[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f′(x)0，在(x0,1)内f′(x)0，由f′(x)＝0得，x2＝2b0，∴b02b1，∴0b12.13．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)0，在(－1,1)上f′(x)0，在(1，＋∞)上f′(x)0，又x2－2x－30的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－30的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．14．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则()A．f(2)e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)e2f(0)[答案]D[分析]所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较f2e2与f0e0的大小，故构造函数F(x)＝fxex解决．[解析]设F(x)＝fxex，则F′(x)＝f′x－fxex0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)F(0)，∴f2e2f0e0，即f(2)e2f(0)．二、填空题15．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取得极值，则a＝________.[答案]3[解析]考查分式函数求导法则、极值点的性质．f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12＝x2＋2x－ax＋12，f′(1)＝0⇒1＋2－a4＝0⇒a＝3.16．函数y＝x3－3x＋9的极小值是________．[答案]7[解析]y′＝3x2－3，令y′0，得x1或x－1，令y′0，得－1x1，∴函数在(－∞，1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，∴当x＝1时，函数取得极小值1－3＋9＝7.三、解答题17．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c，在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值．(1)求a、b、c的值；(2)求出f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由已知得f′－2＝12a－4b－2＝0f′1＝3a＋2b－2＝0f－2＝－8a＋4b＋4＋c＝6，解得a＝13，b＝12，c＝83.(2)由(1)知f(x)＝13x3＋12x2－2x＋83，f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2,1)1(1,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)256632616由上表可知，当x＝3时，f(x)取得最大值616，当x＝1时，f(x)取得最小值32.