【成才之路】2014-2015高中数学人教A版第选修1-1综合素质检测3(7295864)

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不确定[答案]A[解析]y＝sinx，y′＝cosx，∴k1＝cos0＝1，k2＝cosπ2＝0，k1k2.2．函数f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]f′(x)＝2x，∴f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率k＝2.3．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,0)D．(－1,0)[答案]C[解析]设P(x0，y0)，f′(x)＝4x3－1，由题意得f′(x0)＝3，∴4x30－1＝3，∴x0＝1.∴y0＝x40－x0＝0，故选C.4．函数f(x)＝x－lnx的递增区间为()A．(－∞，1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)[答案]C[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x，令f′(x)0，即1－1x0，∴1x1，∴x1，故选C.5．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，f′(x)＝0得x＝0或2(舍去)又f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2∴f(x)在区间[－1,1]上的最大值为2.6．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝5.7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是()A．m0B．m1C．m≤0D．m≤1[答案]C[解析]f′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m≠0时，由题意得m0，综上可知m≤0.8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为()A．20B．9C．－2D．2[答案]C[解析]由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.9．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为()A．－55B．55C．22D．1[答案]C[解析]f′(x)＝excosx－exsinx，∴f′(0)＝1.设f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为α，则tanα＝1，∵α∈(0，π)，∴α＝π4，∴cosα＝22.10．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x[答案]B[解析]设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，∵函数图象过原点，∴d＝0.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得，f′1＝0f′3＝0f1＝4，即3a＋2b＋c＝027a＋6b＋c＝0a＋b＋c＝4，解得a＝1b＝－6c＝9，∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B.11．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的()[答案]D[解析]解法一：由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.解法二：观察f(x)的图象可见f(x)的单调性为增、减、增，故f′(x)的值为正、负、正，故选D.12．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7][答案]B[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝5，则a等于________．[答案]3[解析]∵f′(x)＝3ax2－4x，∴f′(1)＝3a－4＝5，∴a＝3.14．已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．[答案]c14[解析]∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c0.解得c14.15．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为__________________．[答案]－1[解析]f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，即x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，e)ef′(x)＋0－f(x)单调递增极大值－1单调递减1－e由于f(e)＝1－e，而－11－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1.16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．[答案]a－1[解析]∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.当a≥0时，y不可能有极值点，故a0.由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1.∴a－1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．[解析]显然a≠0(否则f(x)＝b与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]得，x＝0.(1)当a0时，列表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)递增极大值b递减由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．且当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，∵a0，∴f(－1)f(2)，从而f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a0时，用类似的方法可判断当x＝0时，f(x)有最小值，当x＝2时，f(x)有最大值，从而f(0)＝b＝－29，f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.综上，a＝2、b＝3或a＝－2、b＝－29.18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．[解析](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)0，解得x－1，或x3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2，∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.19．(本题满分12分)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1、4.若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．[解析]由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因为f′(x)－9x＝0，即ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1、4，所以a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0.(*)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．由a0，Δ＝9a－1a－9≤0，得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]．20．(本题满分12分)(2012·安徽文，17)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a、b的值．[解析](1)由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋1ax＋b≥2＋b，其中等号成立当且仅当ax＝1，即当x＝1a时，f(x)取最小值为2＋b.(2)f′(x)＝a－1ax2，由题设知，f′(1)＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1，所以a＝2，b＝－1.[点评]本题考查均值不等式，导数应用，方程求解等基础内容．在应用均值不等式时保证“一定、二正、三相等”，并明确等号成立的条件．第(1)问也可用导数研究其单调性再求最小值．21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx(x∈R)．(1)若函数f(x)的图象在点x＝3处的切线与直线24x－y＋1＝0平行，函数f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的解析式，并确定函数的单调递减区间；(2)若a＝1，且函数f(x)在[－1,1]上是减函数，求b的取值范围．[解析](1)∵f(x)＝ax3＋bx(x∈R)，∴f′(x)＝3ax2＋b.由题意得f′(3)＝27a＋b＝24，且f′(1)＝3a＋b＝0，解得a＝1，b＝－3.经检验成立．∴f(x)＝x3－3x.令f′(x)＝3x2－30，得－1x1，∴函数f(x)的减区间为(－1,1)．(2)当a＝1时，f(x)＝x3＋bx(x∈R)，又∵f(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴f′(x)＝3x2＋b≤0在区间[－1,1]上恒成立，即b≤－3x2在区间[－1,1]上恒成立，∴b≤(－3x2)min＝－3.22．(本题满分14分)(2014·通化模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解析](1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(h)，耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．答：当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5L.(2)当速度为xkm/h时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh，设耗油量为h(x)L.依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25(L)．因为h(x)在