【成才之路】2014-2015高中数学人教A版选修2-1综合素质检测3章[来源学优高考网427008

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是()A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量[答案]D[解析]只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，且a∥b则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°[答案]A[解析]∵|a|2＝2，|b|2＝2，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB→⊥AC→，则λ等于()A．28B．－28C．14D．－14[答案]D[解析]AB→＝(－2，－6，－2)，AC→＝(－1,6，λ－3)，∵AB→⊥AC→，∴AB→·AC→＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故选D．4．(2013·北师大附中月考)若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．a＋b[答案]C[解析]因为a＝14p＋14q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝12p－12q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝34p－14q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D；故选C．5．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)[答案]D[解析]∵l∥α，∴a·n＝0，经检验知选D．6．(2013·清华附中月考)已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°[答案]B[解析]由于AB→＝AC→＋CD→＋DB→，则AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝CD→2＝1．cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→|·|CD→|＝12⇒〈AB→，CD→〉＝60°，故选B．7．(2013·安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF→＝AD→＋mAB→－nAA1→，则m，n的值分别为()A．12，－12B．－12，－12C．－12，12D．12，12[答案]A[解析]由于AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12(DC→＋DD1→)＝AD→＋12AB→＋12AA1→，所以m＝12，n＝－12，故选A．8．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且AD→＝2DB→，设C(λ，13＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A．116B．－116C．12D．13[答案]B[解析]设D(x，y，z)，则AD→＝(x＋1，y－1，z－2)，AB→＝(2，－1，－3)，DB→＝(1－x，－y，－1－z)，∵AD→＝2DB→，∴x＋1＝21－x，y－1＝－2y，z－2＝－2－2z.∴x＝13，y＝13，z＝0.∴D(13，13，0)，CD→＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD→⊥AB→，∴CD→·AB→＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116．9．(2013·河南省开封月考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为()A．1B．52C．62D．32[答案]C[解析]以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，2)，F(2,1，22)，所以|EF|＝1－22＋1－12＋2－222＝62，故选C．10．(2013·陕西省高新一中期末)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A．27B．2357C．357D．1[答案]B[解析]过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，A1C→＝(1,2，－3)，A1E→＝(x，y，z－3)，BE→＝(x－1，y，z)．因为A1E→∥A1C→BE→·A1C→＝0，所以x1＝y2＝z－3－3x－1＋2y－3z＝0，解得x＝57y＝107z＝67，所以BE→＝(－27，107，67)，所以点B到直线A1C的距离|BE→|＝2357，故选B．11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A．12B．22C．13D．16[答案]C[解析]如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．从而D1E→＝(1,1，－1)，AC→＝(－1,2,0)，AD1→＝(－1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则n·AC→＝0，n·AD1→＝0，即－a＋2b＝0，－a＋c＝0，得a＝2b，a＝c.令a＝2，则n＝(2,1,2)．所以点E到平面ACD1的距离为h＝|D1E→·n||n|＝2＋1－23＝13．12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于()A．120°B．60°C．75°D．90°[答案]D[解析]建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．则BA→＝(0,2,0)，GF→＝(1,1，－1)，C1E→＝(1,2，－1)，∴cos〈BA→，GF→〉＝|BA→·GF→||BA→|·|GF→|＝13，cos〈BA→，C1E→〉＝|BA→·C1E→||BA→|·|C1E→|＝23，∴cosα＝13，sinα＝23，cosβ＝23，sinβ＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当AP→·BP→取最小值时，点P的坐标为__________．[答案](12，0,0)[解析]设P(x,0,0)，则AP→＝(x－1，－2,0)，BP→＝(x，－1,1)，AP→·BP→＝x(x－1)＋2＝(x－12)2＋74，∴当x＝12时，AP→·BP→取最小值74，此时点P的坐标为(12，0,0)．14．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为__________．[答案]14[解析]设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝22，A1C1＝B1D1＝2，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝h2－22，∴h＝62，∴A(0，－2，0)，D1(－22，0，62)，B1(22，0，62)，C(0，2，0)，∴AD1→＝(－22，2，62)，B1C→＝(－22，2，－62)，∴cos〈AD1→，B1C→〉＝AD1→·B1C→|AD1→|·|B1C→|＝14，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为14．15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为________________．[答案]45°[解析]由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝2，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC边中点E，则PE＝22，AE＝22，又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．[答案]102[解析]过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝12，BM＝32，CN＝12，DN＝32，MN＝1．由于BD→＝BM→＋MN→＋ND→，∴|BD→|2＝(BM→＋MN→＋ND→)2＝|BM→|2＋|MN→|2＋|ND→|2＋2(BM→·MN→＋MN→·ND→＋BM→·ND→)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD→|＝102．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．[解析]设c＝λ1a＋λ2b，则3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75．即c＝15a－75b．∴a、b、c共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG→．[解析]∵BG＝2GD，∴BG→＝23BD→．又BD→＝BA→＋BC→＝PA→－PB→＋PC→－PB→＝a＋c－2b，∴PG→＝PB→＋BG→＝b＋23(a＋c－2b)＝23a－13b＋23c．19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．[解析]解法一：(1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD．∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°．∴二面角C－AB－D的大小为45°．(3)过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH．∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°．在Rt△BHD中，BD＝2，∴BH＝22．又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1．解法二：(1)同解法一．(2)设AB＝a，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则B(0,0,0)，A(0,0，a)，C(0,1,0)，D(1,1,0)，BD→＝(1,1,0)，BA→＝(0,0，a)．平面ABC的法向量CD→＝(1,0,0)，设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有BD→·n＝x＋y＝0，BA→·