搜索
11-3-2全集与补集基础巩固一、选择题1．(2011·江西文)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪NB．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN)D．(∁UM)∩(∁UN)[答案]D[解析]本题主要考查集合的运算．(∁UM)∩(∁UN)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．2．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x1}，则(∁RM)∩N等于()A．{x|x－2}B．{x|－2x1}C．{x|x1}D．{x|－2≤x1}[答案]A[解析]∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁RM＝{x|x2或x－2}，∴(∁RM)∩N＝{x|x－2}．故选A.3．(2012·宜昌测试)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个[答案]A[解析]全集U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个，故选A.4．设集合A、B都是全集U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则A＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{3,4}D．{1,4}[答案]C[解析]排除法：∵(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，∴2∈(∁UA)，∴2∉A，排除选项A、B.又∵(∁UA)∩B＝{1}，∴1∈(∁UA)，∴1∉A.排除D，故选C.5．如图阴影部分可表示为()2A．(A∪B)∩∁U(A∩B)B．∁U(A∪B)C．∁U(A∩∁UB)D．[∁U(A∪B)]∪(A∩B)[答案]D[解析]结合Venn图及集合的运算可得正确选项．6．(2010·陕西)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x1}B．{x|x≥1}C．{x|1x≤2}D．{x|1≤x≤2}[答案]D[解析]∵B＝{x|x1}，∴∁RB＝{x|x≥1}，∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}，故选D.二、填空题7．已知集合A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1,1，－3,3}，∁UB＝{－1,0,2}，则集合B＝________.[答案]{1,4,6，－3,3}[解析]∵∁UA＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，又∁UB＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．8．已知全集U＝R，M＝{x|x2}，N＝{x|x≤0}，则∁UM与∁UN的包含关系是________．[答案]∁UM∁UN[解析]∵M＝{x|x2}，N＝{x|x≤0}，∴∁UM＝{x|x≥2}，∁UN＝{x|x0}．借助数轴，∴对任意x∈∁UM，必有x∈∁UN.又1∈∁UN但1∉∁UM，3∴∁UM∁UN.三、解答题9．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x－1或x5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁RB)＝∁RB.[解析](1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a－1或a＋35解得a－1或a2，∴当a－1或a2时，A∩B≠∅.(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.由图得a＋3－1或a5.即a－4或a5时，A∩B＝A.(3)由补集的定义知：∁RB＝{x|－1≤x≤5}，∵A∪(∁RB)＝∁RB，∴A⊆∁RB.由右图得a≥－1a＋3≤5，解得：－1≤a≤2.能力提升一、选择题1．(2011·安徽文)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于()A．{1,4,5,6}B．{1,5}C．{4}D．{1,2,3,4,5}[答案]B[解析]该题考查集合交集与补集运算，属基础保分题．∁UT＝{1,5,6}，∴S∩(∁UT)＝{1,5}．2．如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是()4A．(A∪B)∩(A∩B)B．∁U(A∩B)C．[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B]D．∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)[答案]C[解析]阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(∁UB)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(∁UA)∩B.故选C.二、填空题3．设全集U＝R，A＝{x|x1}，B＝{x|x＋a0}，B∁RA，实数a的取值范围为________．[答案]a≥－1[解析]∵A＝{x|x1}，如图所示，∴∁RA＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x－a}，要使B∁RA，则－a≤1，即a≥－1.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x－1或2≤x3}，B＝{x|－2≤x4}，则(∁UA)∪B＝__________.[答案]{x|x≥－2}[解析]由数轴得，∁UA＝{x|－1≤x2或x≥3}，再由数轴得，(∁UA)∪B＝{x|x≥－2}．三、解答题55．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁UA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．[解析]∵∁UA＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.6．(2012·驻马店高一月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．[解析]∵U＝{1,2,3,4,5}，(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，得m＝6且A＝{2,3}，∴∁UA＝{1,4,5}，而(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.7．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}，(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围．[解析](1)∵A＝{1,2}，A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a的值为－1或－3；(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝4(2a＋6)，∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ0，即a－3时，B＝∅，满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；6③当Δ0，即a－3时，B＝A＝{1,2}．由韦达定理得1＋2＝－a＋1×2＝a2－5⇒a＝－52a2＝7，矛盾；综上，a的取值范围是a≤－3；(3)∵A∩∁UB＝A，∴A⊆∁UB，∴A∩B＝∅；①若B＝∅，则Δ0⇒a－3适合；②若B≠∅，则a≥－3，此时1∉B且2∉B；将x＝2代入B的方程得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入B的方程得a2＋2a－2＝0⇒a＝－1±3；∴a≠－1且a≠－3且a≠－1±3.综上，a的取值范围是a－3或－3a－1－3或－1－3a－1或－1a－1＋3或a－1＋3.