【成才之路】2014-2015高中数学人教A版选修2-1本册综合素质检测[来源学优高考网386048

本册综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．2．(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中高二期中)下列选项中，说法正确的是()A．若命题“p∨q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B．命题“若am2bm2，则ab”的逆命题．．．是真命题C．命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的否命题．．．是真命题D．命题“若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底”的逆否命题．．．．为真命题[答案]D[解析]由“p∨q”一真为真知，A错误；命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2”，这是一个假命题，∵当m＝0时错误，故B错误；“若a＝－b，则|a|＝|b|”的否命题为“若a≠－b，则|a|≠|b|”，这是一个假命题，例如a＝(1,3)，b＝(－3,1)，此时a≠－b，但|a|＝|b|＝10，故C错误；若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数λ，μ，使a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴(1－μ)a＋(1－λ)b－(λ＋μ)c＝0，∵a，b，c不共面，∴1－μ＝0，1－λ＝0，－λ＋μ＝0，此方程组显然无解，因此{a＋b，b＋c，c＋a}可以构成空间的一个基底，由原命题正确知逆否命题正确，故选D．3．已知方程x21＋k＋y24－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1k4B．k－1或k4C．k－1D．k4[答案]B[解析]由题意，得(1＋k)(4－k)0，∴(k＋1)(k－4)0，∴k4或k－1．4．(2014·贵州湄潭中学、高二期中)抛物线y2＝2px上一点Q(6，y0)，且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4B．8C．12D．16[答案]B[解析]由抛物线的定义知，Q点到抛物线准线x＝－p2的距离为10，又抛物线过点Q，∴p0，∴6－(－p2)＝10，∴p＝8，∴焦点到准线的距离为8．5．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)下列判断错误的是()A．在△ABC中，“AB→·BC→0”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件B．命题“∀x∈R，x2－x－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x20－x0－10”C．若p、q均为假命题，则p∧q为假命题D．设a、b、c为平面向量，若向量a、b是共线向量，向量b、c是共线向量，则向量a、c也是共线向量．[答案]D[解析]在△ABC中，若AB→·BC→0，则∠ABC为钝角，∴△ABC为钝角三角形，但△ABC为钝角三角形时，∠ABC可能为锐角，从而AB→·BC→0，故A正确；由全称命题的否定定义知B正确；当p、q都为假命题时，p∧q一定为假命题，故C正确；当b＝0时，a与b共线，b与c共线，未必有a、c共线，故D错误．6．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是()A．12B．55C．13D．22[答案]B[解析]点P的坐标(－c，b2a)，于是kAB＝－ba，kPF2＝－b22ac，由kAB＝kPF2得b＝2c，故e＝ca＝55．7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于()A．4B．4或－4C．－2D．－2或2[答案]B[解析]由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p，∵|PF|＝4∴p2＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4．8．(2014·福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2，弦长为|AB|＝21－d2＝2|k|1＋k2，∴S△OAB＝12×|AB|·d＝|k|k2＋1＝12，∴k＝±1，因此当“k＝1”时，“S△OAB＝12”，故充分性成立．“S△OAB＝12”时，k也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A．9．(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中高二检测)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为e，则斜率为k的直线与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k2－e21B．k2－e21C．e2－k21D．e2－k21[答案]C[解析]由条件知，|ba||k|，∴b2a2k2，∵a2＋b2＝c2，∴c2－a2a2k2，∵e＝ca，∴e2－1k2，∴e2－k21，∴选C．10．(2013·新课标全国Ⅱ理，7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()[答案]A[解析]在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体ABCD－A1B1C1D1中，易得此四面体在zOx平面投影图形为A．11．(2013·大纲理，8)椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A．[12，34]B．[38，34]C．[12，1]D．[34，1][答案]B[解析]如图：直线A2M的方程为y＝－(x－2)，即y＝2－x，代入椭圆方程x24＋y23＝1中消去y得，7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝167，∴x＝27，∴M点坐标为(27，127)．同理可得N点坐标为(2619，2419)∵KA1M＝12727＋2＝34，KA1N＝24192619＋2＝38，∴直线PA1斜率的取值范围是[38，34]．12．在圆柱OO1中，ABCD为轴截面，AB＝4，BC＝6，D为⊙O1圆周上的点，BP的长度等于AP长度的2倍，则AD与PC所成角的余弦值为()A．12B．32C．－32D．13[答案]B[解析]以A为坐标原点，AB、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图．由条件知D(0,0,6)，B(0,4,0)，C(0,4,6)，P(3，1,0)，∴AD→＝(0,0,6)，PC→＝(－3，3,6)，cos〈AD→，PC→〉＝AD→·PC→|AD→|·|PC→|＝32，故选B．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为__________．[答案]33[解析]在双曲线x264－y236＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10．由P是双曲线上一点得，||PF1|－|PF2||＝16．∴|PF2|＝1或|PF2|＝33．又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33．14．已知在空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC中点，用a，b，c表示MN→，则MN→等于__________．[答案]－34a＋12b＋12c[解析]显然MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－34OA→＝12b＋12c－34a．15．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值为__________________．[答案]32[解析]当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由x＝4y2＝4x，得y1＝－4，y2＝4，∴y21＋y22＝32．当直线的斜率存在时，其方程为y＝k(x－4)，由y2＝4x，y＝kx－4.消去x得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16，∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋3232，综上可知y21＋y22≥32．∴y21＋y22的最小值为32．16．过二面角α－l－β内一点P作PA⊥α于A，作PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α－l－β的度数为__________．[答案]120°[解析]设PA→＝a，PB→＝b，由条件知|a|＝5，|b|＝8，|AB→|＝7，∴AB2＝|AB→|2＝|b－a|2＝|b|2＋|a|2－2a·b＝64＋25－2a·b＝49，∴a·b＝20，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，∴〈a，b〉＝60°，∴二面角α－l－β为120°．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”，若p∨q为真，綈p为真，求实数m的取值范围．[解析]∵直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，则|1＋0－m|21，∴m∈(1－2，1＋2)．∵mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，则m－4m0，即0m4．又∵p∨q为真，綈p为真，∴p假，q真，∴m∈[1＋2，4)．18．(本小题满分12分)已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．[解析]如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点，即定点A(－3，0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8．所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b＝42－32＝7的椭圆，方程为：x216＋y27＝1．19．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD．[证明]如图所示，建立空间直角坐标系C－xyz．(1)∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，∠PBC＝30°．∵|PC|＝2，∴|BC|＝23，∴|PB|＝4，得D(0,1,0)、B(23，0,0，)、A(23，4,0)、P(0,0,2)，又|PB|＝4|PM|，∴|PM|＝1，M(32，0，32)，∴CM→＝(32，0，32)，DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，设CM→＝λDP→＋μDA→，则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32，∴λ＝34，μ＝14，即CM→＝34DP→＋14DA→，∴CM→，DP→，DA→共面．∵C∉平面PAD，∴CM∥平面PAD．(2)作BE⊥PA于E，|PB|＝|AB|＝4，∴E为PA的中点，∴E(3，2,1)，∴BE→＝(－3，2,1)．∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE→·DP→＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，∴BE⊥DA，又BE⊥DP，∴BE⊥平面PAD，由于BE⊂平面PAB，则平面PAB⊥平面PAD．[点评]①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常