【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)第3章函数的应用§31几类不同增长的函数

3．2.1几类不同增长的函数模型学习目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．2．能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用．自学导引1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同2.指数函数y＝ax(a1)，对数函数y＝logax(a1)和幂函数y＝xn(n0)增长速度的比较(1)对于指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于y＝ax的增长快于y＝xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数y＝logax(a1)和幂函数y＝xn(n0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于y＝logax的增长慢于y＝xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.一、一次函数模型例1为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．解(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝15，k2＝12.∴y1＝15x＋29，y2＝12x.(2)令y1＝y2，即15x＋29＝12x，则x＝9623.当x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x9623时，y1y2，即如意卡便宜；当x9623时，y1y2，即便民卡便宜．点评由图象给出的函数关系的应用问题，要先确定函数类型，然后，通过待定系数法列方程求解．变式迁移1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱．解由优惠办法(1)可得函数关系式为y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)；由优惠办法(2)得：y2＝4×20×0.92＋x×5×0.92＝4.6x＋73.6(x≥4)当购买34只茶杯时，两办法付款相同；当4≤x34时，y1y2，优惠办法(1)省钱；当x34时，y1y2，优惠办法(2)省钱．二、指数函数模型例2某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)分析每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n次后杂质含量为2100·23n，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型．解依题意，得2100·23n≤11000，即23n≤120.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．点评一般地，形如y＝ax(a0且a≠1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数y＝b·ax＋k作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型．以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳－14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型．变式迁移22004年全国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？解设大约经过n年，我国人口由2004年的13亿增加到18亿，则13×(1＋1%)n＝18.∴1.01n＝1813，即n＝log1.011813＝lg1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.2553－1.11390.0043＝32.8837≈33(年)即从2004年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿．三、对数函数模型的应用例3燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析由题目可获取以下主要信息：①已知飞行速度是耗氧量的函数；②第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.解答本题的关键是给变量赋值．解(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2Q10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.点评直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．变式迁移3在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系v＝2000ln1＋Mm.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s?解由12000＝2000ln1＋Mm，即6＝ln1＋Mm，1＋Mm＝e6，利用计算器算得Mm≈402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y＝kx＋b(k0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数y＝logax(a1)模型，其增长缓慢；(3)指数y＝ax(a1)模型，其增长迅速．一、选择题1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()答案D2．能使不等式log2xx22x成立的x的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,2)∪(4，＋∞)答案D3．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x答案A4．已知镭每经过100年衰变后剩留质量是原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留质量为y，则x与y之间的关系为()A．y＝0.9576xB．y＝0.9576x100C．y＝1－0.0424x100D．y＝0.9576100x答案B5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时答案C解析设共分裂了x次，则有2x＝4096，∴2x＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3个小时．二、填空题6．国家规定的个人稿酬纳税办法是：不超过800元不纳税，超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为________元．答案3800解析∵3000×14%＝420元，所以他的稿费应为3800元．7．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．答案11a－1解析设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝11a－1.8．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中x呈对数函数型变化的变量是______，呈指数函数型变化的变量是______，呈幂函数型变化的变量是______．答案y3y2y1三、解答题9．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．解本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5＝153.86(万元)．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．10.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？分析因为所求函数关系是一次函数，所以可先设出解析式，再通过图象利用待定系数法求出；免费携带，即y的值为0，最多可免费携带行李的质量，应是函数图象与x轴交点的横坐标．解(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由图象可知，当x=60时，y=6；当x=80时，y=10.∴1080660bkbk解得k=51，b=-6.∴y与x之间的函数关系式为y=51x-6(x≥30)．(2)根据题意，当y=0时，x=30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.