【新课标(理)】2013山东高考数学二轮复习选修矩阵选讲

矩阵选讲(习题课)解答题(本大题共10小题，每小题10分，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)1．(2012年高考江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝－143412－12，求矩阵A的特征值．解析：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝－143412－12，所以A＝(A－1)－1＝2321，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.2．设数列{an}、{bn}满足an＋1＝2an＋3bnbn＋1＝2bn，且满足an＋4bn＋4＝Manbn，求二阶矩阵M.解析：依题设有an＋1bn＋1＝2302anbn，令A＝2302，则M＝A4，A2＝23022302＝41204.M＝A4＝(A2)2＝4120441204＝1696016.3．(2012年福州质检)已知矩阵T＝acb0，O是坐标原点，点A(1，0)在矩阵T的变换下得到点P.设b0，当△POA的面积为3，∠POA＝π3时，求a，b的值．解析：∵acb010＝ab，∴p(a，b)，又∵b0，∠POA＝π3，∴S△AOP＝12×1×a2＋b2sinπ3＝3，又S△OPA＝12×1×b＝3，∴a＝2，b＝23.4．已知矩阵M＝0110，N＝0－110.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．解析：由题设得MN＝01100－110＝100－1，设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有100－1xy＝x′y′，即x－y＝x′y′，所以x＝x′，y＝－y′.因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0，所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.5．已知二阶矩阵A有特征值λ1＝3及其对应的一个特征向量α1＝11，特征值λ2＝－1及其对应的一个特征向量α2＝1－1，求矩阵A的逆矩阵A－1.解析：设二阶矩阵A＝abcd，则有abcd11＝311，且abcd1－1＝－1－1，即a＋b＝3，a－b＝－1，且c＋d＝3，c－d＝1.解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1.∴A＝1221，从而A－1＝－132323－13.6．已知二阶矩阵A＝abcd，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝32.求矩阵A.解析：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即abcd1－1＝－1×1－1，得a－b＝－1，c－d＝1.同理可得3a＋2b＝12，3c＋2d＝18，解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝2321.7．已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)．求矩阵M.解析：设M＝abcd，则abcd11＝311＝33，故a＋b＝3c＋d＝3.abcd－12＝915，故－a＋2b＝9－c＋2d＝15.联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝－14－36.8．已知矩阵A＝12－14，向量α＝74.(1)求A的特征值λ1，λ2和特征向量α1，α2；(2)计算A5α的值．解析：(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6，由f(λ)＝0解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，解得α1＝21，当λ2＝3时，解得α2＝11.(2)由α＝mα1＋nα2得2m＋n＝7m＋n＝4，解得m＝3，n＝1.则A5α＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α)＋λ52α2＝3×2521＋3511＝435339.9．(2012年高考福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝a0b1(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．解析：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由x′y′＝a0b1xy＝axbx＋y，得x′＝ax，y′＝bx＋y.又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得a2＋b2＝2，2b＝2，解得a＝1，b＝1，或a＝－1，b＝1.因为a0，所以a＝1，b＝1.(2)由(1)知，A＝1011，A2＝10111011＝1021.所以|A2|＝1，(A2)－1＝10－21.10．已知矩阵M＝2a2b的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x－2y－3＝0的矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解析：(1)矩阵M＝2a2b的特征多项式为f(λ)λ－2－a－2λ－b，∴f(λ)＝(λ－2)(λ－b)－2a＝λ2－(b＋2)λ＋2b－2a，由已知λ1＝－1，λ2＝4为f(λ)＝0的两根，∴－1＋4＝b＋2，－1×4＝2b－2a，解得a＝3，b＝1.(2)由(1)知M＝2321.设直线x－2y－3＝0上任意一点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是(x′，y′)，由x′y′＝2321xy＝2x＋3y2x＋y，得2x＋3y＝x′，2x＋y＝y′，解得x＝－x′＋3y′4，y＝x′－y′2，代入x－2y－3＝0得－x′＋3y′4－2×x′－y′2－3＝0，即5x′－7y′＋12＝0，于是点(x′，y′)必在直线5x－7y＋12＝0上．由(x，y)的任意性可知，直线x－2y－3＝0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为5x－7y＋12＝0.