【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练3.3三角函数的图象与性质

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第三章第3讲(时间:45分钟分值:100分)一、选择题1.[2013·广州一测]如果函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω0)的两个相邻零点之间的距离为π12,则ω的值为()A.3B.6C.12D.24答案:C解析:T=π6,ω=2πT=12,选C项.2.[2012·大纲全国高考]若函数f(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3答案:C解析:∵f(x)为偶函数,关于y轴对称,x=0为其对称轴.∴x+φ3=π2+kπ,令x=0,φ=3kπ+32π,当k=0时,φ=32π,选C项.3.函数y=tan(π4x-π2)的部分图象如图所示,则(OB→-OA→)·OB→=()A.-4B.4C.-2D.2答案:B解析:容易求得点A(2,0),B(3,1),则(OB→-OA→)·OB→=(1,1)·(3,1)=4.4.[2013·惠州模拟]已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,12],则b-a的值不可能是()A.π3B.2π3C.πD.4π3答案:A解析:画出函数y=sinx的草图分析知b-a的取值范围为[2π3,4π3].5.[2013·金版原创]若函数y=2cosωx在区间[0,2π3]上递减,且有最小值1,则ω的值可以是()A.2B.12C.3D.13答案:B解析:由y=2cosωx在[0,23π]上是递减的,且有最小值为1,则有f(23π)=1,即2×cos(ω×23π)=1⇒cos2π3ω=12.检验各数据,得出B项符合.6.[2013·泰安质检]函数f(x)=cos(2x+3π2)(x∈R),下面结论不正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的对称中心是(π2,0)C.函数f(x)的图象关于直线x=π4对称D.函数f(x)是偶函数答案:D解析:∵f(x)=cos(2x+3π2)=sin2x(x∈R),∴最小正周期T=2π2=π,选项A正确;由2x=kπ得x=kπ2,k∈Z,∴函数f(x)的对称中心为(kπ2,0),∴取k=1得选项B正确;由2x=kπ+π2得x=kπ2+π4,k∈Z,∴取k=0得函数f(x)的对称轴为x=π4,∴选项C正确;∵f(x)=sin2x(x∈R),∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,∴选项D不正确.二、填空题7.[2013·太原模考]若函数f(x)=2tan(kx+π3)的最小正周期T满足1T2,则自然数k的值为________.答案:2或3解析:因为T=πk,所以1πk2,即π2kπ,而k为自然数,所以k=2或3.8.函数f(x)=cos(2x-π4)+3在[-π2,π2]上的单调递减区间为________.答案:[-π2,-3π8]∪[π8,π2]解析:由2kπ≤2x-π4≤2kπ+π得kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z.∵x∈[-π2,π2],∴取k=0得f(x)在[-π2,π2]上的单调递减区间为[π8,π2];取k=-1得f(x)在[-π2,π2]上的单调递减区间为[-π2,-3π8].∴f(x)在[-π2,π2]上的单调递减区间为[-π2,-3π8]和[π8,π2].9.[2013·安庆模拟]如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称,那么|φ|的最小值为________.答案:π6解析:由已知得3cos(2×4π3+φ)=0,即cos(2π3+φ)=0,∴φ+2π3=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-π6,∴|φ|min=π6.三、解答题10.[2013·金华模拟]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω0,A0,0φπ2)的周期为π,f(π4)=3+1,且f(x)的最大值为3.(1)写出f(x)的表达式;(2)写出函数f(x)的对称中心,对称轴方程.解:(1)因T=π,∴ω=2,最大值为3,∴A=2.∴f(x)=2sin(2x+φ)+1,∵f(π4)=3+1,∴2sin(π2+φ)+1=3+1,∴cosφ=32.∵0φπ2,∴φ=π6.∴f(x)=2sin(2x+π6)+1.(2)由f(x)=2sin(2x+π6)+1,令2x+π6=kπ,得x=kπ2-π12(k∈Z),∴对称中心为(kπ2-π12,1)(k∈Z),由2x+π6=kx+π2,得x=kπ2+π6(k∈Z),∴对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z).11.[2013·南通质检]已知a0,函数f(x)=-2asin(2x+π6)+2a+b,当x∈[0,π2]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)∵x∈[0,π2],∴π6≤2x+π6≤76π,∴-12≤sin(2x+π6)≤1,又∵a0,-5≤f(x)≤1,∴-2a+2a+b=-5a+2a+b=1,即a=2,b=-5.(2)f(x)=-4sin(2x+π6)-1,由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,由π2+2kπ≤2x+π6≤32π+2kπ得π6+kπ≤x≤23π+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,23π+kπ](k∈Z),单调递减区间为[-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z).12.[2013·深圳调研]设函数f(x)=sinωx+sin(ωx-π2),x∈R.(1)若ω=12,求f(x)的最大值及相应的x的集合;(2)若x=π8是f(x)的一个零点,且0ω10,求ω的值和f(x)的最小正周期.解:(1)f(x)=sinωx+sin(ωx-π2)=sinωx-cosωx=2sin(ωx-π4).当ω=12时,f(x)=2sin(x2-π4),而-1≤sin(x2-π4)≤1,所以f(x)的最大值为2,此时,x2-π4=π2+2kπ,k∈Z,即x=3π2+4kπ,k∈Z,相应的x的集合为{x|x=3π2+4kπ,k∈Z}.(2)因为f(x)=2sin(ωx-π4),所以,x=π8是f(x)的一个零点⇔f(π8)=2sin(ωπ8-π4)=0,即ωπ8-π4=kπ,k∈Z,整理,得ω=8k+2,又0ω10,所以08k+210,-14k1,而k∈Z,所以k=0,ω=2,f(x)=2sin(2x-π4),f(x)的最小正周期为π.

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