【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题一第一讲

专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]答案C解析如图，△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则S△ADES△ABC＝40－y402＝x402，所以y＝40－x，由题意知xy≥300，即x(40－x)≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解不等式得10≤x≤30.2．(2012·课标全国)设点P在曲线y＝12ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A．1－ln2B．2(1－ln2)C．1＋ln2D．2(1＋ln2)答案B解析由题意知函数y＝12ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝12ex上点的最小距离的2倍，设y＝12ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有12ex0＝1，x0＝ln2，y0＝1，∴y＝x与y＝12ex上点的最小距离是22(1－ln2)，∴所求距离为22(1－ln2)×2＝2(1－ln2)．3．(2012·浙江)设a0，b0，e是自然对数的底数()A．若ea＋2a＝eb＋3b，则abB．若ea＋2a＝eb＋3b，则abC．若ea－2a＝eb－3b，则abD．若ea－2a＝eb－3b，则ab答案A解析当0a≤b时，显然ea≤eb，且2a≤2b3b，∴ea＋2aeb＋3b，即ea＋2a≠eb＋3b成立，所以它的逆否命题：若ea＋2a＝eb＋3b，则ab成立，故A正确，B错误；当0a≤b，由ea≤eb，2a3b，知ea－2a与eb－3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误．4．(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案22n＋1－2解析设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝a11－qn1－q＝2n＋1－2.5．(2013·安徽)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由y＝x2x2＋y－a2＝a得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，则由题意得a0a－1≥0，解得a≥1.题型一利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1(1)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.12C.52D.22(2)若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．审题破题(1)由题意可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，因此该问题可转化为：求x为何值时，函数F(x)＝x2－lnx取得最小值．(2)由ab＝a＋b＋3变形可得b＝a＋3a－1，从而求ab＝aa＋3a－1的取值范围问题可转化为求函数f(a)＝aa＋3a－1的值域问题；若设ab＝t，则a＋b＝t－3，从而a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两根，利用方程的思想解决．答案(1)D(2)[9，＋∞)解析(1)可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－lnx.令F(x)＝x2－lnx，则F′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，所以当0x22时，F′(x)0，F(x)单调递减；当x22时，F′(x)0，F(x)单调递增，故当x＝22时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小．(2)方法一(看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝a＋3a－1.而b0，∴a＋3a－10.即a1或a－3，又a0，∴a1，故a－10.∴ab＝a·a＋3a－1＝a－12＋5a－1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．方法二若设ab＝t，则a＋b＝t－3，所以a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．从而有Δ＝t－32－4t≥0，a＋b＝t－30，ab＝t0，即t≤1或t≥9，t3，t0，解得t≥9，即ab≥9.所以ab的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳(1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1若点O和点F(－2,0)分别是双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C.－74，＋∞D．74，＋∞答案B解析因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为x23－y2＝1.设点P(x0，y0)，则有x203－y20＝1(x0≥3)，解得y20＝x203－1(x0≥3)，因为FP→＝(x0＋2，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋2)＋y20＝x0(x0＋2)＋x203－1＝4x203＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x0＝－34，因为x0≥3，所以当x0＝3时，OP→·FP→取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP→·FP→的取值范围是[3＋23，＋∞)．题型二利用函数与方程思想研究方程根的问题例2如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，π2]上有解，求a的取值范围．审题破题可分离变量为a＝－cos2x＋sinx，转化为确定的相关函数的值域．解方法一设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，π2])．显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋12)2－54，且由x∈(0，π2]知sinx∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]．故a的取值范围是(－1,1]．方法二令t＝sinx，由x∈(0，π2]，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解．设f(t)＝t2＋t－1－a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－12，如图所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于f00f1≥0，即－1－a01－a≥0，∴－1a≤1.故a的取值范围是(－1,1]．反思归纳研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练2已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，求实数k的取值范围．解令3x＝t，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0；(*)要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，∴Δ＝－22－43k－1≥0，t1·t2＝3k－10，t1＋t2＝20，解得13k≤23.故实数k的取值范围是13，23.题型三利用函数与方程思想求解不等式问题例3已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，求x的取值范围．审题破题本题可先求出m的范围，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立可转化为函数g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2的值恒大于0.解∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3.原题转化为当m∈12，3时，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，即m(x－2)＋(x－2)20恒成立．令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，问题转化为g(m)在m∈12，3上恒大于0，则g120，g30，即12x－2＋x－220，3x－2＋x－220.解得x2或x－1.反思归纳在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3设不等式2x－1m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围是()A.0，34B．(2，＋∞)C.34，＋∞D．(－∞，2)答案C解析原不等式即(x－1)m－(2x－1)0，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数f(m)的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得f20，f－20，即2x－1－2x－10，－2x－1－2x－10，解得x34.题型四利用函数与方程思想解决数列问题例4设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：14≤Tn1.审题破题可将Tn看作关于自然数n的函数，通过函数的单调性来证明不等式．(1)解当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋4－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5.∵a1＝1不适合上式，∴an＝1，n＝12n－5，n≥2.(2)证明由题意知bn＝an2n＝12，n＝12n－52n，n≥2.当n＝1时，T1＝12，当n≥2时，Tn＝12＋－122＋123＋…＋2n－52n，①12Tn＝122＋－123＋124＋…＋2n－72n＋2n－52n＋1，②①－②得：12Tn＝12－222＋2123＋…＋12n－2n－52n＋1＝121－12n－2－2n－52n＋1，∴Tn＝1－2n－12n(n≥2)，当n＝1时也适合上式．故Tn＝1－2n－12n(n∈N*)．∵2n－12n0(n∈N*)，∴Tn1.当n≥2时，Tn