专题四数列、推理与证明第一讲等差数列与等比数列1.an与Sn的关系:Sn=a1+a2+…+an,an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.2.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an-an-1=常数(n≥2)anan-1=常数(n≥2)通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法:an=pn+q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(5){an}为等比数列,an0⇔{logaan}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法:a2n+1=an·an+2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法:an=c·qn(c、q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an=am+(n-m)d(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq(2)an=amqn-m(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列前n项和Sn=na1+an2=na1+nn-12d(1)q≠1,Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q(2)q=1,Sn=na11.(2013·江西)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24答案A解析由x,3x+3,6x+6成等比数列得,(3x+3)2=x(6x+6).解得x1=-3或x2=-1(不合题意,舍去).故数列的第四项为-24.2.(2012·福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.4答案B解析方法一设等差数列{an}的公差为d,由题意得2a1+4d=10,a1+3d=7.解得a1=1,d=2.∴d=2.方法二∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.又a4=7,∴公差d=7-5=2.3.(2013·辽宁)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案D解析an=a1+(n-1)d,d>0,∴an-an-1=d>0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关.故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确.对于p3:ann=a1n+n-1nd,∴ann-an-1n-1=-a1+dnn-1,当d-a1>0,即d>a1时,数列{ann}递增,但d>a1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.∴数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.4.(2013·重庆)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________.答案64解析因为a1,a2,a5成等比数列,则a22=a1·a5,即(1+d)2=1×(1+4d),d=2.所以an=1+(n-1)×2=2n-1,S8=a1+a8×82=4×(1+15)=64.5.(2013·江苏)在正项等比数列{an}中,a5=12,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+ana1a2…an的最大正整数n的值为________.答案12解析由已知条件a5=12,a6+a7=3,即12q+12q2=3,整理得q2+q-6=0,解得q=2,或q=-3(舍去).an=a5qn-5=12×2n-5=2n-6,a1+a2+…+an=132(2n-1),a1a2…an=2-52-42-3…2n-6=2,由a1+a2+…+ana1a2…an可知2n2+1,n≤12.题型一等差(比)数列的基本运算例1(2012·山东)已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.审题破题(1)由已知列出关于首项和公差的方程组,解得a1和d,从而求出an.(2)求出bm,再根据其特征选用求和方法.解(1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn,由T5=105,a10=2a5,得5a1+5×5-12d=105,a1+9d=2a1+4d,解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).(2)对m∈N*,若an=7n≤72m,则n≤72m-1.因此bm=72m-1.所以数列{bm}是首项为7,公比为49的等比数列,故Sm=b11-qm1-q=7×1-49m1-49=7×72m-148=72m+1-748.反思归纳关于等差(等比)数列的基本运算,一般通过其通项公式和前n项和公式构造n2-11n2n2-11n+102关于a1和d(或q)的方程或方程组解决,如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识.变式训练1(2013·浙江)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11.当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+212n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-12n2+212n,n≤11,12n2-212n+110,n≥12.题型二等差(比)数列性质的应用例2(1)已知正数组成的等差数列{an},前20项和为100,则a7·a14的最大值是()A.25B.50C.100D.不存在(2)在等差数列{an}中,a1=-2013,其前n项和为Sn,若S1212-S1010=2,则S2013的值为()A.-2011B.-2012C.-2010D.-2013审题破题(1)根据等差数列的性质,a7+a14=a1+a20,S20=20a1+a202可求出a7+a14,然后利用基本不等式;(2)等差数列{an}中,Sn是其前n项和,则Snn也成等差数列.答案(1)A(2)D解析(1)∵S20=a1+a202×20=100,∴a1+a20=10.∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.∵an0,∴a7·a14≤a7+a1422=25.当且仅当a7=a14时取等号.(2)根据等差数列的性质,得数列Snn也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2013,公差d=1,故S20132013=-2013+(2013-1)×1=-1,所以S2013=-2013.反思归纳等差数列和等比数列的项,前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.变式训练2(1)数列{an}是等差数列,若a11a10-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n等于()A.11B.17C.19D.21答案C解析∵{an}的前n项和Sn有最大值,∴数列为递减数列.又a11a10-1,∴a100,a110,得a10+a110.而S19=19a1+a192=19·a100,S20=20a1+a202=10(a10+a11)0.故当n=19时,Sn取得最小正值.(2)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于()A.4B.5C.6D.7答案B解析∵a3·a11=16,∴a27=16.又∵等比数列{an}的各项都是正数,∴a7=4.又∵a10=a7q3=4×23=25,∴log2a10=5.题型三等差数列、等比数列的综合应用例3已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1),其中n∈N*.(1)证明:数列{an}为等比数列;(2)设数列{bn}满足bn=log3an,若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和.审题破题(1)利用an=Sn-Sn-1求出an与an-1之间的关系,进而用定义证明数列{an}为等比数列.(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式,求出cn的表达式,再利用错位相减法求和.(1)证明由题意得an=Sn-Sn-1=32(an-an-1)(n≥2),∴an=3an-1,∴anan-1=3(n≥2),又S1=32(a1-1)=a1,解得a1=3,∴数列{an}为首项为3,公比为3的等比数列.(2)解由(1)得an=3n,则bn=log3an=log33n=n,∴cn=anbn=n·3n,设Tn=1·31+2·32+3·33+…+(n-1)·3n-1+n·3n,3Tn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.∴-2Tn=31+32+33+…+3n-n·3n+1=31-3n1-3-n·3n+1,∴Tn=2n-13n+1+34.反思归纳等差、等比数列的判断与证明方法是由已知条件求出an或得到an+1与an的递推关系,再确认an+1-an=d(n∈N*,d为常数)或an+1an=q(n∈N*,q为非零常数)是否对一切正整数均成立.变式训练3已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对n∈N*,均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立,求c1+c2+…+c2013.解(1)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,d0,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2.则an=1+(n-1)×2=2n-1.又∵b2=a2=3,b3=a5=9,∴等比数列{bn}的公比q=b3b2=93=3.∴bn=b2qn-2=3×3n-2=3n-1.(2)由c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1,得当n≥2时,c1b1+c2b2+…+cn-1bn-1=an,两式相减,得cnbn=an+1-an=2,∴cn=2bn=2×3n-1(n≥2)而当n=1时,c1b1=a2,∴c1=3.∴cn=3,n=1,2×3n-1,n≥2.∴c1+c2+…+c2013=3+2×31+2×32+…+2×32012=3+6-6×320121-3=3-3+32013=32013.典例(12分)已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).(1)若a20=40,求d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围;(3)续写已知数列,使得a30,a31,…,a40是公差为d3的等差数列,…,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?规范解答解(1)由