【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练3.6简单的三角恒等变换(人教A版数学理)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(二十)(45分钟100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012·洋浦模拟）函数y=5sin2xcos2x是()(A)周期为2的奇函数(B)周期为2的偶函数(C)周期为4的奇函数(D)周期为4的偶函数2.（2012·宁波模拟）已知sin(4-x)=35,则sin2x的值为()(A)725(B)725(C)1825(D)18253.若sinθ+cosθ=2,则tan(θ+3)的值是()(A)23(B)23(C)23(D)234.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=()(A)43(B)54(C)34(D)455.（预测题）已知函数f(x)=1cos2xxxasincos()224sin(x)2的最大值为2，则常数a的值为()(A)15(B)15(C)15(D)106.（易错题）若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在［0，2］上有零点，则实数m的取值范围为()(A)［-1，2］(B)［-1，1］(C)［1，2］(D)［2，-1］二、填空题（每小题6分，共18分）7.化简1sin2cos21sin2cos2=______8.tan20°+tan40°+3·tan20°·tan40°=_______.9.（2012·温州模拟）函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2，最小值-1，则实数（ab)2的值为_______.三、解答题（每小题15分，共30分）10.已知22tanx31tanx5，求sin2(4+x)的值.11.（2012·杭州模拟）已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x+2),x∈R(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间;(3)若f(α)=34,求sin4α的值.【探究创新】（16分）已知函数f(x)=sinx+cosx，f′(x)是f(x)的导函数，(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域和最小正周期；(2)若f(x)=2f′(x),求221sinxcosxsinxcosx的值.答案解析1.【解题指南】利用倍角公式化简成y=Asinωx的形式，即可得其相应性质.【解析】选A.y=5sin2xcos2x=52sin4x,∴T=242，∵f(-x)=-f(x),∴函数y=5sin2xcos2x是奇函数.2.【解析】选A.∵sin（4-x）=35，∴sin（x-4）=35，∴sin2x=sin［2（x-4）+2］=cos2（x-4）=1-2sin2（x-4）=1-2×（35）2=725.3.【解析】选B.∵sin2θ+cos2θ=1,∴联立方程得22sincos2,sincos1解这个关于sinθ与cosθ的方程组，∵sinθ+cosθ=21,故sinθ与cosθ同为正.∴sinθ=22,cosθ=22.∴tanθ=1,故有tan(θ+3)=tantan3231tantan3.4.【解析】选D.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=222222sinsincos2costantan2sincostan1,又tanθ=2，故原式=4224415.5.【解题指南】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+)的形式，再利用最大值求得a.【解析】选C.因为f(x)=22cosx1asinx4cosx2=12(cosx+asinx)=21a2cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以21a2=2,解得a=15.6.【解析】选A.f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x-m=1+sin2x-2cos2x-m=1+sin2x-1-cos2x-m=2sin（2x4）-m，∵0≤x≤2，∴0≤2x≤π，∴4≤2x4≤34，∴-1≤2sin（2x4）≤2，故当-1≤m≤2时，f(x)在［0，2］上有零点.7.【解题指南】分子、分母分别用倍角公式变换,注意约分.【解析】原式=2212sincos(12sin)12sincos(2cos1)=222sincos2sin2sincos2cos=2sincossin2cossincos（）（）=tanθ.答案：tanθ8.【解析】原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3.答案：39.【解析】y=acos2x+bsinxcosx=1cos2xbasin2x22=221ab2sin（2x+φ)+a2∴22221aab222,1aab122∴a=1,b2=8，∴(ab)2=8.答案：8【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点．(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：(ⅰ)常值代换，特别是“1”的代换，如：1=sin2θ+cos2θ等；(ⅱ)项的分拆与角的配凑；(ⅲ)降次与升次；(ⅳ)万能代换.②对于形如asinθ+bcosθ的式子，要引入辅助角φ并化成22absin(θ+φ)的形式，这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号决定，φ角的值由tanφ=ba确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识.10.【解析】22222sinx2tanx3cosxsin2xcosxsinx1tanx5cosx,sin2(4+x)=12［1-cos2(4+x)］=12［1-cos(2+2x)］=1sin2x425.11.【解题指南】把f(x)化成Asin(ωx+φ)+B是解答本题的关键.【解析】f(x)=2cos2x+cos(2x+2)=1+cos2x-sin2x，(1)f(x)=1+2cos(2x+4)f(x)的最小正周期T=22=π.(2)∵-π+2kπ≤2x+4≤2kπ，∴kπ58≤x≤kπ8∴f(x)的单调增区间是［kπ-58,kπ-8］(k∈Z).(3)f(α)=1+cos2α-sin2α=34，sin2α-cos2α=14(sin2α-cos2α)2=(14)2∴1-sin4α=116,∴sin4α=1516.【探究创新】【解题指南】(1)先求出f′(x),代入F(x)进行三角恒等变换得到F（x）=Asin(ωx+φ)+b的形式，求其性质；(2)根据f(x)=2f′(x）求出tanx的值，化简所求的式子后代入.【解析】(1)∵f′(x)=cosx-sinx,∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x).=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+2sin(2x+4)∴函数F（x）的值域为［1212，］，∴最小正周期为T=22=π.(2)∵f(x)=2f′(x)sinx+cosx=2cosx-2sinx,∴cosx=3sinxtanx=13,∴221sinxcosxsinxcosx=2222sinxcosxcosxsinxcosx=2112tanx111921tanx63.