【章节训练】第13章+全等三角形-3

【章节训练】第13章全等三角形-3菁优网©2010-2014菁优网【章节训练】第13章全等三角形-3一、选择题（共2小题）1．（2010•东阳市）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°2．（2010•柳州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）3．（2009•江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为4cm，则其腰上的高为_________cm．4．（2009•清远）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1=_________°．5．（2009•宁夏）如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为_________．6．（2009•丽水）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1=_________．7．（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_________．三、解答题（共5小题）（选答题，不自动判卷）菁优网©2010-2014菁优网8．（2010•鞍山）旗杆、树和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路灯下树和竹竿的影子的方位和长短如图所示．请根据图上的信息标出灯泡的位置（用点P表示），再作出旗杆的影子（用线段字母表示）．（不写作法，保留作图痕迹）9．（2009•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：AE2=AC•EC．10．（2009•肇庆）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．（1）求证：△ABD是正三角形；（2）求AC的长（结果可保留根号）．11．（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．12．（2009•中山）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM=EM．菁优网©2010-2014菁优网菁优网©2010-2014菁优网【章节训练】第13章全等三角形-3参考答案与试题解析一、选择题（共2小题）1．（2010•东阳市）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：分类讨论．分析：此题要分情况考虑：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算．解答：解：当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣40°×2=100°．故选C．点评：注意：当等腰三角形中有一个角是锐角时，可能是它的底角，也可能是它的顶角；当等腰三角形中有一个角是锐角时，只能是它的顶角．2．（2010•柳州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°考点：正方形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到AB=AE，从而可求得∠BAE的度数，则∠AEB的度数就不难求了．解答：解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE∴∠BAE=90°+60°=150°∴∠AEB=（180°﹣150°）÷2=15°故选B点评：主要考查了正方形和等边三角形的特殊性质．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）3．（2009•江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为4cm，则其腰上的高为2cm．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：在等腰三角形腰上的高与另一腰构建的直角三角形中，已知了30°的特殊角，通过解直角三角形即可求出高的长度．解答：解：如图，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=4cm，所以，BD=AB•cos30°=4×=2（cm）．菁优网©2010-2014菁优网故答案为：2．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及解直角三角形的应用．4．（2009•清远）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1=30°．考点：全等三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．解答：解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1=∠C，又∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠C1=∠C=30°．故答案为：30．点评：本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．5．（2009•宁夏）如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为8．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=DC，再根据三角形的周长定义求解．解答：解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．点评：本题考查等腰三角形的性质；由已知条件结合图形发现并利用AC+CD是△ABC的周长的一半是正确解答本题的关键．菁优网©2010-2014菁优网6．（2009•丽水）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1=．考点：等边三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；规律型．分析：根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．解答：解：∵P1=1+1+1=3，P2=1+1+=，P3=1+1+×3=，P4=1+1+×2+×3=，…∴p3﹣p2=﹣==；P4﹣P3=﹣==，…则Pn﹣Pn﹣1=，故答案为：．点评：此题考查了等边三角形的性质；要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．7．（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于70°或20°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：分类讨论．分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20度．解答：解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A=40°，∴∠B===70°；菁优网©2010-2014菁优网②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1=40°，∴∠BAC=140°，∴∠B=∠C==20°．故答案为：70°或20°．点评：此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．三、解答题（共5小题）（选答题，不自动判卷）8．（2010•鞍山）旗杆、树和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路灯下树和竹竿的影子的方位和长短如图所示．请根据图上的信息标出灯泡的位置（用点P表示），再作出旗杆的影子（用线段字母表示）．（不写作法，保留作图痕迹）考点：作图—应用与设计作图；中心投影．菁优网版权所有专题：作图题；压轴题．分析：根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把树木和竹竿的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接旗杆顶部的直线与地面相交即可找到旗杆影子的顶端．解答：解：线段MN是旗杆在路灯下的影子．菁优网©2010-2014菁优网点评：本题考查平行投影和中心投影的作图，难度不大，体现了学数学要注重基础知识的新课标理念．解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．9．（2009•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：AE2=AC•EC．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解．（2）先由（1）的结论可证得△ABC∽△BEC，根据比例即可证明．解答：证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=36°．（1分）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．（2分）∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=36°．（3分）（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BC=BE=AE．（4分）在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BEC．（6分）∴，即BC2=AC•EC．（7分）故AE2=AC•EC．（8分）点评：本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定以及等腰三角形的性质．关键是证明BC=BE=AE．10．（2009•肇庆）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．（1）求证：△ABD是正三角形；（2）求AC的长（结果可保留根号）．考点：菱形的性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有专题：几何综合题．分析：（1）菱形的边AB=AD，即已知两边相等，再寻找一个角为60°，即可证明△ABD是正三角形；菁优网©2010-2014菁优网（2）先求OC的长，再求AC．解答：（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD．∵∠ACD=30°，∴∠BCD=60°．（1分）∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）∵AB、AD是菱形的两条边，∴AB=AD．（3分）∴△ABD是正三角形．（4分）（2）解：∵O为菱形对角线的交点，∴AC=2OC，OD=BD=3，∠COD=90°．（5分）在Rt△COD中，=tan∠OCD=tan30°，∴OC===3．（6分）∴AC=2OC=．答：AC的长为．（7分）点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．11．（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．考点：直角梯形；全等三角形的判