【精品一轮特效提高】2014高考总复习(理数)-题库10.3二项式定理

10.3二项式定理一、选择题1．二项式2x－1x6的展开式中的常数项是()A．20B．－20C．160D．－160解析二项式(2x－1x)6的展开式的通项是Tr＋1＝Cr6·(2x)6－r·－1xr＝Cr6·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－1x)6的展开式中的常数项是C36·26－3·(－1)3＝－160.答案D2．若二项式x－2xn的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()．A．6B．10C．12D．15解析Tr＋1＝Crn(x)n－r－2xr＝(－2)rCrnxn－3r2，当r＝4时，n－3r2＝0，又n∈N*，∴n＝12.答案C3.0x(1－t)3dt的展开式中x的系数是()A．－1B．1C．－4D．4解析0x(1－t)3dt＝－－44x0＝－－44＋14，故这个展开式中x的系数是－C14－4＝1.答案B4．已知x－ax8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()．A．28B．38C．1或38D．1或28解析由题意知C48·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案C5．设5x－1xn的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()．A．－150B．150C．300D．－300解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝Cr4(5x)4－r－1xr＝(－1)r54－rCr4x4－3r2，令4－3r2＝1，得r＝2，T3＝150x.答案B6.x＋13x2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．252C．210D．45[来源:Z*xx*k.Com][来源:学科网ZXXK]解析根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式x＋13x2n的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr10(x)10－r·13xr＝Cr10x5－r2－r3，根据题意5－r2－r3＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于C610＝C410＝210.正确选项为C.答案C7．在(x－2)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于()．A．23008B．－23008C．23009D．－23009解析(x－2)2006＝x2006＋C12006x2005(－2)＋C22006x2004(－2)2＋…＋(－2)2006，由已知条件S＝－C12006(2)2006－C32006(2)2006－…－C20052006(2)2006＝－22005·21003＝－23008.[来源:学_科_网]答案B二、填空题8．(1＋x)3(1＋1x)3的展开式中1x的系数是________．解析利用二项式定理得(1＋x)31＋1x3的展开式的各项为Cr3xr·Cn3x－n＝Cr3Cn3xr－n，令r－n＝－1，故可得展开式中含1x项的是C03·C13x＋C13·C23x＋C23·C33x＝15x，即(1＋x)31＋1x3的展开式中1x的系数是15.答案159．设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________.[来源:学.科.网Z.X.X.K]解析x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C36＝20.[来源:Zxxk.Com]答案2010．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝36＋12.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝36＋12－1＝364.答案36411．已知(1＋x＋x2)x＋1x3n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.解析x＋1x3n展开式中的通项为Tr＋1＝Crnxn－r1x3r＝Crnxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n＝5.答案n＝512．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin2φ＋π2＝________.解析由二项式定理得，x3的系数为C35cos2φ＝2，∴cos2φ＝15，故sin2φ＋π2＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－35.答案－35三、解答题13．若3x＋1xn的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x的整数次幂的项．解析令x＝1，则22n＝1024，∴n＝5.Tr＋1＝Cr5(3x)5－r1xr＝Cr5·35－r·1032rx，含x的整数次幂即使10－3r2为整数，r＝0、r＝2、r＝4，有3项，即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1.14．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……解析(1)Crn＋1＝Crn＋Cr－1n(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1(3)设Cr－1n∶Crn∶Cr＋1n＝3∶4∶5由Cr－1nCrn＝34，得rn－r＋1＝34即3n－7r＋3＝0①由CrnCr＋1n＝45，得r＋1n－r＝45即4n－9r－5＝0②解①②联立方程组得n＝62，r＝27即C2662∶C2762∶C2862＝3∶4∶5.15．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．解析等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式为bk＝2k，令3n－1＝2k，n∈N*，k∈N*，即n＝2k＋13＝－k＋13＝C0k3k－C1k3k－1＋…＋Ck－1k－k－1＋Ckk－k＋13，当k＝2m－1时，m∈N*，n＝C02m－132m－1－C12m－132m－2＋…＋C2m－22m－133∈N*，Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．16．已知f(x)＝2x－12x＋1.(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞nn＋1.证明(1)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)．设x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝x1－x2＋－x2－x1＋x1＋x2＋＝x1－2x2x1＋x2＋，由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)当n∈N*且n≥3，要证f(n)＞nn＋1，即2n－12n＋1＞nn＋1，只须证2n＞2n＋1，∵2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＞C0n＋C1n＋Cn－1n＝2n＋1.∴f(n)＞nn＋1.