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11.2统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体一、选择题1．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为()．A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5解析数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为410＝0.4.[来源:Z_xx_k.Com]答案C2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()．A.65B.65C.2D．2解析由题可知样本的平均值为1，所以a＋0＋1＋2＋35＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案D3某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部在[13,18]内，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)；…；第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．且第一组，第二组，第四组的频数成等比数列，则成绩在[13,15)内的学生人数为()A．12B．14C．16D．10解析由图知第一、三、五小组的频率分别为0.08,0.38,0.06，∴其频数分别为4,19,3，∴第二、四组的频数和为50－4－19－3＝24.∵第一、二、四组的频数成等比数列，设其公比为q，则第二、四组的频数为4q,4q2.∴4q＋4q2＝24，解得q＝2或q＝－3(舍去)，∴第二小组的频数为4q＝8，∴成绩在[13,15)内的学生有4＋8＝12(人)．答案A4.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A．18B．36C．54D．72答案B解析本题考查频率分布直方图．做这类题应注意组距、各小矩形的面积和为1等．1－2(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)＝0.18，所以0.18×200＝36.5．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：甲的成绩[来源:学科网]环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()．A．s3＞s1＞s2B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3D．s2＞s3＞s1解析∵x甲＝＋8＋9＋20＝8.5，s21＝－2＋－2＋－2＋－2]20＝1.25，x乙＝＋＋＋20＝8.5，s22＝－2＋－2]＋－2＋－2]20＝1.45，x丙＝＋＋＋20＝8.5，s23＝－2＋－2]＋－2＋－2]20＝1.05.由s22＞s21＞s23，得s2＞s1＞s3.答案B6．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300h的电子元件的数量与使用寿命在300～600h的电子元件的数量的比是()．A.12B.13C.14D.16解析寿命在100～300h的电子元件的频率为12000＋32000×100＝420＝15；寿命在300～600h的电子元件的频率为1400＋1250＋32000×100＝45.∴它们的电子元件数量之比为15∶45＝14.答案C7．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()．A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.6解析平均数增加，方差不变．答案D二、填空题8．某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.解析由于三个厂的产量比为1∶2∶1，所以从三个厂抽出产品比例也应为1∶2∶1.所以100件产品的使用寿命平均值为980×1＋1020×2＋1032×14＝1013.答案10139一个样本a,99，b,101，c中，五个数顺次成等差数列，则这个样本的标准差为________．答案2解析∵a,99，b,101，c成等差数列，∴b＝101＋992＝100，∴a＝98，c＝102.∴x＝98＋99＋100＋101＋1025＝100，∴s＝＝2.10．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析根据样本的频率分布直方图，成绩小于60分的学生的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.20，所以可推测3000名学生中成绩小于60分的人数为600名．答案60011．某校开展“爱我青岛，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．解析当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x＜4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋907＝91，∴x＝1.答案112．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为________．解析由15(x＋y＋10＋11＋9)＝10，15[(x－10)2＋(y－10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得，x2＋y2＝208.答案208三、解答题13．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110][来源:学|科|网]频数4124232[来源:学科网]10(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝－2，t＜94，2，94≤t＜102，4，t≥102.估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．解析(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．14.中学高三年级参加市一轮验收考试的同学有1000人，用系统抽样法抽取了一个容量为200的学生总成绩的样本，分数段及各分数段人数如下(满分750分)：分数段[250,350)[350,450)[450,550)[550,650)[650,750)人数2030804030(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)模拟本科划线成绩为550分，试估计该校的上线人数．解析(1)频率分布表如下：分数段(分)频数频率[250,350)200.10[350,450)300.15[450,550)800.40[550,650)400.20[650,750)300.15合计2001.00(2)频率分布直方图如下：(3)由频率分布表知，在样本中成绩在550分以上的人数的频率为0.20＋0.15＝0.35.由此可以估计该校本科模拟上线人数约为0．35×1000＝350(人)．15．某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解析(1)频率分布表如下：分组[来源:学§科§网]频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合计1001频率颁布直方图如图：(2)误差不超过0.03mm，即直径落在[39.97,40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20＝40.00(mm)．16．某市2010年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.样本频率分布表：分组频数频率[41,51)2230[51,61)1130[61,71)4430[71,81)6630[81,91)101030[91,101)[101,111]2230(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．解析(1)频率分布表：分组频数频率[41,51)2230[51,61)1130[61,71)4430[71,81)6630[81,91)101030[91,101)5530[101,111]2230(2)频率分布直方图：(3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115.有26天处于良的水平，占当月天数的1315.处于优或良的天数共有28天，占当有月数的1415.说明该市空气质量基本良好．②轻微污染有2天，占当月天数的115.污染指数在80以上接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．