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中学生习题网【考点训练】三角形的重心-2一、选择题（共5小题）1．（1997•台湾）在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G为重心，到斜边AB的距离为（）A．B．C．D．22．（2013•闸北区一模）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，且S△BOD=5，则△ABC的面积是（）A．30B．20C．15D．53．（2006•上海）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（）A．2B．3C．6D．124．（2013•奉贤区一模）等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为（）A．B．C．D．5．（2008•台湾）如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（）A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2002•上海）在△ABC中，如果AB=AC=5cm，BC=8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是_________cm．7．（2012•上海）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为_________．8．（2004•上海）在△ABC中，点G是重心，若BC边上的高为6，则点G到BC的距离为_________．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；中学生习题网（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．10．（2000•上海）如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．中学生习题网【考点训练】三角形的重心-2参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．（1997•台湾）在直角△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，G为重心，到斜边AB的距离为（）A．B．C．D．2考点：三角形的重心．1528144专题：压轴题．分析：如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线，那么三角形的重心G在线段CD上，然后利用勾股定理和重心的性质即可求出△ABC的重心到斜边AB的距离．解答：解：设CD是Rt△ABC的斜边上的中线，三角形的重心G在线段CD上，过点G作GE⊥AB于点E，过点C作CE⊥AB于点F，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线，∴三角形的重心G在线段CD上，∴DG=CD，∵GE∥CF，∴EG=FC，∵FC×AB=AC×BC，∴FC=，∴GE=×=，即△ABC的重心到斜边AB的距离为：．故选：A．点评：此题分别考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质及三角形的重心的性质，有一定的综合性，解题时要求学生熟练掌握这些知识才能很好解决这类问题．2．（2013•闸北区一模）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，且S△BOD=5，则△ABC的面积是（）A．30B．20C．15D．5考点：三角形的重心．1528144分析：根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得OD=2AO，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出△AOB的面积，然后等底等高的三角形的面积相等求解即可．中学生习题网解答：解：如图，∵中线AD、BE相交于点O，∴O是△ABC的重心，∴OD=AO，∵S△BOD=5，∴S△AOB=2S△BOD=2×5=10，∴S△ABD=10+5=15，∵AD是中线，∴△ABC的面积=2S△ABD=2×15=30．故选A．点评：本题考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍，等高的三角形的面积等于底边的比以及等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．3．（2006•上海）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（）A．2B．3C．6D．12考点：三角形的重心．1528144专题：压轴题．分析：根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．解答：解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG=AG=3．故选B．点评：掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是其道对边中点的距离的2倍．运用三角形的中位线定理即可证明此结论．4．（2013•奉贤区一模）等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；三角形的重心．1528144分析：作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．解答：解：如图，根据三线合一的性质，底边上的中线CD=sin45°=1，∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的2倍，∴重心到AB的距离=1×=．故选D．中学生习题网点评：本题主要考查等腰三角形三线合一的性质和三角形重心的性质，熟练掌握定理是解题的关键．5．（2008•台湾）如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（）A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2考点：三角形的重心．1528144分析：根据重心的概念得出D，F分别是三角形的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．解答：解：设三角形ABC的面积是2∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1∵BG：GF=CG：GD=2∴三角形CGF的面积是∴四边形ADGF的面积是2﹣1﹣=∵△ADE≌△BDC（ASA）∴△ADE的面积是1∴△AED的面积：四边形ADGF的面积=1：=3：2．故选D．点评：此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2002•上海）在△ABC中，如果AB=AC=5cm，BC=8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是1cm．考点：勾股定理；三角形的重心；等腰三角形的性质．1528144分析：根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．解答：解：∵AB=AC=5cm∴△ABC是等腰三角形∴三角形的重心G在BC边的高根据勾股定理设该高为a，∴a2+42=52则a=3cm，根据三角形的重心性质∴G到BC的距离是1cm．中学生习题网点评：考查了等腰三角形的三线合一的性质以及三角形的重心的概念和性质．7．（2012•上海）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为4．考点：三角形的重心；等边三角形的性质．1528144专题：压轴题；新定义．分析：先设等边三角形的中线长为a，再根据三角形重心的性质求出a的值，进而可得出结论．解答：解：设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：a，∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，∴a=2，解得a=3，∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心距=a=×3=4．故答案为：4．点评：本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质，即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8．（2004•上海）在△ABC中，点G是重心，若BC边上的高为6，则点G到BC的距离为2．考点：三角形的重心．1528144分析：根据重心的性质，可知AG=2GN，即则=，可求则=，则点G到BC的距离是GM．解答：解：连接AG并延长交BC与N，过G作GM⊥BC于M，根据点G是重心，则AG=2GN，则=，因而GM=2，则点G到BC的距离为2．点评：正确理解重心的性质，转化为三角形相似问题是解决本题的关键．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）中学生习题网9．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．考点：相似形综合题；三角形的重心．1528144专题：压轴题．分析：（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．解答：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，中学生习题网∴=2，∵AD=AO+OD，∴．（2）答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而，∴点Q与点O重合（是同一个点），∴点O是△ABC的重心．（3）解：如答图3所示，连接DG．设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S．∴==①如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．∵OF∥BC，中学生习题网∴，∴OF=CD=BC；∵GE∥BC，∴，∴GE=；∴=，∴．∵OF∥GE，∴，∴=，∴k=，代入①式得：===﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+，∴当x