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2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）A．|•|=||||B．|+|=||+丨丨C．（•）=（•）D．•=||2考点：平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积运算公式可判断A、D的正确性；根据向量加法的运算法则判断B是否正确；根据向量的数乘运算是向量，来判断C是否正确．解答：解：∵=||||cos，∴||≤||||，∴A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|+|≤||+||，只有当，同向时取“=”，∴B错误；∵（）是向量，其方向与向量相同，（）与向量的方向相同，∴C错误；∵=||||cos0=，∴D正确．故选D点评：本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义．2．（5分）（2013•广州二模）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣2y=0即x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．点评：本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．3．（5分）（2013•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，则p+q=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：利用实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系即可得出．解答：解：∵1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，∴1+i是此方程的另一个解．根据根与系数的关系可得，解得，∴p+q=﹣1+2=1．故选C．点评：熟练掌握实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系是解题的关键．4．（5分）（2013•广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可得到导函数的图象的大致形状．解答：解：由函数f（x）的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A．点评：本题考查了函数的单调性与导函数的关系，考查原函数的极值点与导函数零点的关系，需要注意的是，极值点处的导数等于0，导数为0的点不一定是极值点，是基础题．5．（5分）（2013•广州二模）若函数的一个对称中心是，则ω的最小值为（）A．1B．2C．4D．8考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得cos（ω×+）=0，故有ω×+=kπ+，k∈z，再由ω为正整数可得ω的最小值．解答：解：∵函数的一个对称中心是，∴cos（ω×+）=0，∴ω×+=kπ+，k∈z，即ω=6k+2，k∈z．再由ω为正整数可得ω的最小值为2，故选B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．6．（5分）（2013•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．A．B．πC．D．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体中，体积比是相似比的立方，面积比是相似比的平方，直接求解即可．解答：解：设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为3，利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，=，所以r=，截面的面积为=．故选C．点评：本题是基础题，考查几何体的体积比与相似比的关系，常用此法简化解题过程，同学注意掌握应用．7．（5分）（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是（）A．8年B．1O年C．12年D．15年考点：数列的应用．专题：应用题；等差数列与等比数列．分析：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，依题意，可求得前n年的总费用Sn及年平均费用，利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限．解答：解：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，则an=1.5+0.3n，前n年的总费用为：Sn=15+1.5n++=0.15n2+1.65n+15．年平均费用：=0.15n++1.65≥2+1.65=2+1.65=4.65当且仅当0.15n=即n=10时，年平均费取得最小值．所以则这辆汽车报废的最佳年限10年．故选B．点评：本题考查数列的应用，求得前n年的总费用Sn及年平均费用是关键，考查分析运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•广州二模）记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}则max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}=（）A．B．1C．3D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；新定义．分析：在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2﹣x+1与y=﹣x+6的图象，依题意，即可求得max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}．解答：解：在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2﹣x+1与y=﹣x+6的图象如图：由图可知，min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}为射线AM，抛物线，线段BC，与射线CT的组合体，显然，在C点时，y=min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}取得最大值．解方程组得，C（，），∴max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}=．故答案为．故选D点评：本题考查函数的最值及其几何意义，在同一坐标系中作出三个函数y=x+1，y=x2﹣x+1与y=﹣x+6的图象是关键，也是难点，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9．（5分）（2013•广州二模）某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为2：3：4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n=54．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：由题意可得n•=12，解方程求得n的值，即为所求．解答：解：由n•=12，求得n=54，故答案为54．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）（2013•广州二模）已知α为锐角，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（5分）（2013•广州二模）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成216个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：可对有0与无0分类讨论，再利用分步乘法计数原理即可求得答案．解答：解：∵用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，∴①当有0时，若0排在个位，可从1，2，3，4，5这5个数字中选4个排在其他四个位置，有=120种方法，若0不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有种方法，个位必排5，再从1，2，3，4中选三个在在其他三个位置自由排列，有种方法，所以共有•=72种方法；②若没有0，则5必排在个位，1，2，3，4，在其他四个位置自由排列，有=24种方法；综合①②得，共有120+72+24=216种方法；故答案为：216．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，对有0与无0分类讨论是关键，也可以按末位是0还是5分类，突出分类讨论思想的考查，属于中档题．12．（5分）（2013•广州二模）已知函数f（x）=x2﹣2x，点集M={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则M∩N所构成平面区域的面积为2π．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问题解答：解：因为f（x）=x2﹣2x，f（y）=y2﹣2y，则f（x）+f（y）=x2+y2﹣2x﹣2y，f（x）﹣f（y）=x2﹣y2﹣2x+2y，∴M={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤4}，N={（x，y）||y﹣1|≤|x﹣1|}．故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为=2π．故答案为：2π点评：求限制条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积．13．（5分）（2013•广州二模）数列{an}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k﹣1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则S20=36；S2013=3981．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由f（k）=2k﹣1，可确定数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…，分组：第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2k，确定所要求解的和中2与1的项数即可求解解答：解：设f（k）=2k﹣1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…∴前20项中共有16个24个1s20=1×4+2×16=36记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2kb1+b2+…+bn=2+4+…+2n=n（n+1）＜2013，而46×45=2080＜2011，47×46=2162＞2013故n=45即前2011项中有45个1以及1968个2，所以S2013=45+1968×2=3981故答案为：36，3981点评：本题主要考查了数列的求和公式的应用，解题的关键是结合已知确定数列的项的特点．14．（5分）（2013•广州二模）（几何证明选讲选做题）在△BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交BC于点F，则的值为．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用平行线分线段成比例定理即可得出，，再利用已知条件即可得出．解答：解：如图所示，过点B作BM∥AC交BF的延长线于点M．则=，∴==．故答案为．点评：正确作出辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．15．（2013•广州二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上